Torricelli Point

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Torricelli Point의 성질에 대해 더 알아보자.

다음의 성질들을 밝혀보자.

Torricelli 점의 존재조건

(Torricelli 점이 존재할 필요충분조건) 주어진 삼각형의 세 각이 모두 120도 보다 작으면 토리첼리 점이 존재하고 그 역도 성립한다.

애벌 증명 ($\Rightarrow$ 부분, 필요조건 증명)

• 세 각 중 가장 큰 각을 A라고 하자. AB와 AC변에 그것을 현으로 하는 120도를 포함하는 호를 삼각형 안에 작도한다. (어떻게 작도할까?)
• A에서 두 호가 만나는 건 당연하고, 다른 한 점에서도 만날 것이다. (왜 그런가?)
• 가장 큰 각 A가 120도 보다 작으면 다른 한 점은 삼각형 안에 있게 되고 그 점에서 세 변으로 120도로 본다. 다시 말해 토리첼리점이다.
• 만나는 두 번째 점에서 AB로 보는 각이 120도이고 AC로도 마찬가지 이므로, 나머지 한 각도 120도다.

애벌 증명 ($\Leftarrow$ 부분, 충분조건 증명)

• 토리첼리 점이 존재한다는 것은, 정의에 따라, 그 점에서 각 변을 향해 120도로 보고 있도록 작도되고 삼각형 내부에 교차하는 점이다.
• 따라서 주어진 삼각형의 어느 한 각이 120도 보다 크면 모순.

Note

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