Proof arithfundth1

단계1

산술의 기본정리가 참이 아니라 해보자. 소수들로 쪼개는 방법이 둘 이상인 자연수들 있다는 말이다. 2, 3, 4, 5, 6, … 을 차례로 해나가다가 처음으로 그런 수를 만났다고 해보자. 다시 말해, 최소 원소 원칙에 따라, 그런 성질을 갖는 자연수들의 집합 중 최소원소가 있을 것이다. 그 수를 n 이라고 해보자.

단계2

n 은 두 개의 소수 모임으로 표현되는 수 중 가장 작은 수이므로 소수들 $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{r}$ 들의 곱으로 표현되고 동시에 소수들 $q_{1},q_{2},\cdots ,q_{k}$ 로도 표현된다.

$n\ =\ p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{r}\ =\ q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}$

이다. 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하고 이 소수들의 개수는 유한개 이므로 이것들을 작은 것부터 차례대로 배열했다고 하자 :

$p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{r}$ 이고 $q_{1}<q_{2}<\cdots <q_{k}$라고 한 것이다.

단계3

$p_{1}$ 와 $q_{1}$ 는 같을 수 없다. 만약에 같다면, 곧 $p_{1}=q_{1}$이 참이라면 왼쪽과 오른 쪽 항에서 이 수를 모두 나누었을 때 새로운 n'를 얻게 되고

$n'=p_{2}\cdots p_{r}=q_{2}\cdots q_{k}$

이 되어 서로 다른 소수로 표현된 수가 n 보다 작은 수가 있다는 뜻이다. 산술의 기본정리가 안통하는 가장 작은 수를 n 이라고 했는데 더 작은 수가 있으므로 가정한 것과 충돌한다. 따라서 둘 중 하나는 더 클 것이다. $q_{1}$이 크다고 하자.

단계4

새로운 수 m을 하나 만들어보자.

$m:=p_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}$

그리고 n에서 m을 빼서 같은 항을 묶어 소수들의 곱으로 나타낸 다음 다시 보면

$n-m=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{r}-p_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}=p_{1}\cdot (p_{2}\cdots p_{r}-q_{2}\cdots q_{k})$

이고 동시에

$n-m=q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}-p_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}=(q_{1}-p_{1})\cdot (q_{2}\cdots q_{k})$

이다. 새로운 수 n-m을 c 라고 해보면, c < n 이기 때문에, c는 양수이고 유일한 방법으로 소수의 곱으로 표현할 수 있다.

단계5

두 표현 중 첫번째 것을 보면 $p_{1}$은 c를 나눈다. 곧 $p_{1}$은 n-m의 두번째 수식 어딘가에 들어있을 것이다. 하지만 $q_{1}$은 다른 모든 $q_{i}\ (2\leq k)$보다 작다. 따라서 $p_{1}$은 $q_{1}-p_{1}$의 약수로 나타날 수 밖에 없다. 다시 말해, 어떤 자연수 t 가 있어서

$q_{1}-p_{1}=p_{1}\cdot t$

이고, 따라서

$q_{1}=p_{1}\cdot (t+1)$

이다. 이는 $q_{1}$ 이 1과 그 자신 외에도 $p_{1}$과 $t+1$로도 나누어진다는 것을 뜻한다.

서로 다른 소수가 나뉨관계에 있다는 말이 되버린 것이다!

우리가 가정을 세우고 각 단계에서 논리적으로 아무 모순이 없이 우리의 사고를 전개해 왔는데 모순에 맞닥뜨리게 된 것이다. 다시 말해 우리의 가정이 잘못된 것이다. 그런 최소값 n은 존재하지 않는다. 증명 끝.

증명에 대하여

이 증명은 언뜻 보면 특별히 새로운 개념을 필요로 하지 않고 증명한 것처럼 보인다. 여러분들은 위의 증명이 만족스러운가? 다시말하면 위의 증명을 보고 어떤 의구심이 들지 않고 명쾌하게 이해가 되는가? 증명 단계 5 에서 '$p_{1}$은 n-m의 두번째 수식 어딘가에 들어있을 것이다. 라고 했다.

p,q,r..., a, b, c ... 가 모두 소수라 할때, c = pqr... = abc.. 라는 식에서 a 는 p, q ,r 어딘가에서 반드시 들어있어야 한다. 정말 그럴까?

정말로 그렇다. 이에 대해 의심이 뭉쳤다면 산술의 기초정리 본문 내용의 기초정리 1과 2 를 보고 풀어내면 된다. 물론 스스로 그 사실을 더 정밀하게 보이는 것이 더 좋다.

산술의 기본정리 로 돌아가기.

조금 다른 증명

Note

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