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소수의 무한성 : 페르마의 소수 가설과 통하는 증명

페르마 소수 가설

이 증명을 이해하기 위해서는 먼저 알아둘 게 있다. 이 문제에 대해서는 다음 장에서 더 자세히 다룰 것이지만 질문을 먼저 해보자. 어떤 수가 소수인지 아닌지 알 수 있는 쉬운 방법이 있을까? 물론 ‘쉽다’의 개념은 아직까지 정확히 수학적 개념이 아니다. 하지만 앞에서 우리는 두 수를 곱하여 그 결과가 어떻게 되는지를 푸는 데 들이는 노력(또는 계산량)과 주어진 한 수를 두 수로 나눌 수 있는가, 나뉜다면 어떻게 나뉘는가 하는 문제를 푸는데 들이는 계산량은 비교할 수 비교할 수 없을 만큼 다르다고 이미 알고 있다. 따라서 주어진 수가 소수인지 아닌지 아는 어떤 정해진 식이 있다면 그것은 일손을 엄청나게 덜게 해준다. 확률론, 수론, 해석학 등 광범위한 수학 분야에서 위인 중의 위인이라고 할 만한 업적을 남긴 페르마가 위의 문제를 고민하지 않았을 리 없다. 페르마의 위대한 정리 (또는 '페르마 마지막 정리') 로 유명한 페르마(1601∼1665)는 유명한 법률가였고 인류 역사에는 위대한 수학자로 이름을 남겼다. '인류 역사상 가장 위대한 아마추어 수학자’라고 우스개 별명을 붙이기도 한다. 그가 ‘어떤 수가 소수인지 아닌지 알 수 있는 쉬운 방법’으로 제안했던 유명한 가설이 있다.

페르마 소수 가설 $2+1,2^{2}+1,2^{4}+1,2^{8}+1,2^{16}+1,2^{32}+1,\cdots ,2^{2^{n}}+1$은 모두 소수다.

다시 말해,

$\{x\ |\ x:=2^{2^{n}}+1\ ,\ n\in \mathbb {N} \}\subseteq {\mbox{Prime}}$

자연수의 분류에서 말한 방식대로 하면, 모든 소수아니더라도 부분적으로 소수를 찾아낼 그럴듯한 함수 $f(n)$를 제안한 것이다. 이런 꼴의 수를 ‘페르마 수’라고 부른다. 이것을 검토해보는 것은 언뜻 간단한 일처럼 보일수 있지만, $2^{n}$과 같이 지수들은 상상을 초월할 만큼 빨리 큰 수가 된다. ($9^{9^{9}}$를 상상해보라.)역시 수를 나누어 소수인가 알아보는 일은 보통 힘이 드는 일이 아닐 것이다. 위의 수가 얼마나 빨리 커지는지 우선 눈으로 보도록 하자.

3, 5, 17, 65537, 4294967297, $\cdots$

다섯 번째에서 이미 43억에 가까운 수가 되었다. 43억에 가까운 다섯 번째 수가 소수가 아니라 쪼개진다는 사실을 알게 된 것은 페르마가 가설을 세운 후 100여년이 지난 1732년 이었다. 이 복잡한 문제를 밝힌 사람은 수학의 또 다른 큰 별 오일러(L.Euler)였다. 오일러는

$2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417$

를 밝힘으로써 페르마의 가설이 모든 n에 대해 참이라고 말할 수 없다는 것을 보였다. 오일러는 $2^{32}+1$를 나누는 모든 수는 $64k+1$꼴 이어야 한다는 것을 밝히고 찾은 것으로 알려졌다. 다시 쓰면

$2^{32}+1=(64\cdot 10+1)\cdot (64\cdot 104694+1)$

그렇다면 혹시 $2^{32}+1$만 합성수고 그보다 n이 5보다 큰 경우 모든 페르마 수는 소수일수도 있지 않을까? 놀랍게도 위의 수의 구조에서 n이 5보다 클 때 소수가 아닌 것은 이미 여러 가지 예가 밝혀졌으나 n이 5보다 큰 경우에 소수인 것은 아직까지 발견되지 않고 있다.

잠시 빗나갔다. 이제 우리의 원래 주제인 '소수의 무한성'을 증명해보도록 하자.

이 증명에서 중요한 역할을 하는 사실이 하나 있다. 페르마 수들이 대부분 소수가 아니라는 것은 밝혀졌지만, 어떤 면에서 보면 이 수가 '상당히 소수적' 성질을 가지고 있는데 그것은 바로 다음의 성질이다.

어떤 두 개의 페르마 수는 공통 약수를 갖지 않는다.

이것을 먼저 스스로 보여보라.

증명

골드바흐 추측으로 유명한 골드바흐가 페르마 수를 응용해서 소수의 무한성을 보일 수 있을 것이라고 짐작했던 증명방식이다.

단계1

먼저 어떤 페르마 수에서 2를 뺀 수를 보자.

$2^{2}-1,2^{4}-1,2^{8}-1,2^{16}-1,\cdots$

이 수들 속에 숨어있는 비밀을 캐보라.

단계2

풀어보면 이렇게 된다.

$2^{2}-1^{2}$		=		$(2^{1}+1)\cdot (2^{1}-1)$
$2^{4}-1^{4}$		=		$(2^{2}+1)\cdot (2^{1}+1)\cdot (2^{1}-1)$
$2^{8}-1^{8}$		=		$(2^{4}+1)\cdot (2^{2}+1)\cdot (2^{1}+1)\cdot (2^{1}-1)$
$2^{16}-1^{16}$		=		$(2^{8}+1)\cdot (2^{4}+1)\cdot (2^{2}+1)\cdot (2^{1}+1)\cdot (2^{1}-1)$
:		=		:

이 말은 n 번째 페르마수들을 다 곱한 것은 n + 1 번째 페르마 수와 2 밖에 차이가 안난다는 것을 말한다. 그렇다면 이것으로부터 무엇을 캐낼까? 위의 식들은 무엇을 말하고 있는지?

단계3

$2^{1}+1$부터 시작해서 차례대로 페르마 수들을 곱하면, 그 다음 페르마 수에서 2를 뺀 수(메르센 수)가 된다. 그래서 어떤 두 페르마 수도 공통된 약수를 가질 수 없다. 왜 ? 어떤 페르마 수 a 가 k로 나누어진다면 a 다음의 어떤 페르마 수에서 2를 뺀 수는 반드시 k로 나누어진다. 그런데 페르마 수는 항상 홀수다. 어떤 홀수도 2 가 나눌 수 없다. 그래서, 홀수 n 과 2 차이가 나는 수는 공통 약수를 가질 수 없다. 따라서 a 다음의 페르마 수는 a 의 약수인 k 로 나누어지지 않는다.

단계4

모든 페르마수는 서로 다른 약수를 가진다. 다시말해 서로 다른 소수들의 곱으로 표현된다. 페르마 수가 무한개라는 것은 분명하므로 소수의 개수도 무한개가 된다. 증명 끝.

소수는 몇 개 인가 로 되돌아가기

Note

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