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자연수의 분류 : 자연수의 여러 집단으로 나누어서 보기

수천년 전부터 중세시기까지 '수'에 대해 신비주의적인 사고를 하곤 하였다. 지금도 사라지지는 않았지만, 점차 이런 경향은 줄고 수는 더 자연스럽게 받아들여지고 흥미로운 대상이 되고 있다. 수에 대한 수학적 인식이 발전하는데 셀 수 없이 많은 사람들이 기여를 하였지만 그 중에서 대표적인 사람들이라고 하면 고대 그리스에서는 유클리드(또는 윱클리드), 디오판테스(또는 디오판트), 근대 유럽에서는 페르마 , 오일러 , 르장드르, 디리흘레, 리만, 가우스 같은 이들을 꼽을 수 있다. 특히 가우스 는 "수학은 학문의 여왕이요, 수론은 수학의 여왕이다" 라는 말을 남겼다.

자연수는 무한개다. 어떤 자연수에 대해서도 그것보다 더 큰 수가 있기 때문이다. 자연수 자체의 질서는 너무나 빤해보인다. '하나씩' 더해간다고 말하거나 '어떤 것 다음에 하나씩' 있다고 할 수 있다. 그런데 이 자연수를 어떤 성질에 따라 여러 방식으로 분류해볼 수 있다. 체를 치듯 필요한 수만 골라내 볼 수 있는 것이다. 이때 이 체의 모양에 따라 다른 수들이 걸러지는 것은 당연하다. 예를 들어 자연수를 짝수와 홀수로 분류할 수 있다. $\{2,4,6,8,\cdots \}$ 와 $\{1,3,5,7\cdots \}$ 앞으로 우리는 짝수집합 전체를 나타낼 때는 $Even$ 으로 홀수는 Odd로 쓰도록 하자. ^[1]

보다 일반적으로 어떤 자연수 n 으로 나누어 나머지가 0이거나, 1이거나, 2거나, ... , n-1인 수들로 나눠 볼 수도 있다. n이 3이라면,

\{3,6,9,12\cdots \}

와

\{1,4,7,10\cdots \}

와

\{2,5,8,11,\cdots \}

로 분류할 수 있을 것이다. 또 어떤 수의 제곱수들이 있고 아닌 것이 있다.

\{1,4,9,16,\cdots \}

자연수를 어떻게 분류할 것인가 하는 문제는 우리가 '어떤 성질'에 관심을 가지는 만큼 많아진다.

이런 분류 방식은 위와 같이 말로 하는 것에서 한발 더 디뎌서 수학기호를 이용해서 쓰면 구조가 잘 보이곤 한다. 위의 분류를 다시 쓰면 아래와 같이 쓸 수 있다.

Even:=\{2,4,6,8,\cdots \}=\{x\ |\ x:=2*n,\ n\in \mathbb {N} \}

Odd:=\{1,3,5,7,\cdots \}=\{x\ |\ x:=2*n+1,\ n\in \mathbb {N} \}

위의 3으로 나누어 나머지에 따라 나누어 보면

\{3,6,9,12,\cdots \}=\{x\ |\ x:=3*n,\ n\in \mathbb {N} \}

\{1,4,7,10,\cdots \}=\{x\ |\ x:=3*n+1,\ n\in \mathbb {N} \}

\{2,5,8,11,\cdots \}=\{x\ |\ x:=3*n+2,\ n\in \mathbb {N} \}

이다. 제곱수들의 집합은

\{1,4,9,16,\cdots \}=\{x\ |\ x=n^{2},\ n\in \mathbb {N} \}

로 쓴다. 이를 일반적으로 쓰면

\{x\ |\ x:=f(n),\ n\in \mathbb {N} \}

여기서 자연수의 부분 집합을 결정하는 '성격'을 나타내면서, 말을 쓰는 대신, 이를 '함수적'으로 표현해 본 것이다. 이 함수에 따라 결정된 자연수의 부분집합은 아주 흥미로운 구조를 가질수도 있고 아닐 수도 있다.(너무 뻔한 말이군... ) 우리는 위에서 비교적 단순한 함수들로 이루어진 그 구조가 복잡하지 않은 자연수의 부분집합을 보았다. 이보다 복잡한 부분집합들도 있다.

다른 예를 들어보자.

다각수 : 다각수에 대한 온라인 자료를 보려면 Wikipedia나 Mathworld가 좋다. 여기서 k-각수를 나타내보자. 어떤 정해진 k에 대해,

k-Polygon:=\{x\ |\ x:={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}},\ n\in \mathbb {N} \}

정리 (페르마 다각수 정리) : 모든 자연수는 기껏해야 n 개의 n-다각수의 합으로 표현할 수 있다. 워링 문제 참조하라.

완전수 : 완전수란 그 자신을 제외한 약수들의 합으로 된 수다. 그 약수들을 곱 = 그 약수들의 합인 수. 신비로운 수다. 신비롭기 때문에 고대 그리스 사람들을 유혹했다. 완전수에 대한 일반식은 말하기가 쉽지 않다. 왜냐하면 짝수인 완전수에 대해서는 알려졌으나 홀수인 완전수는 있는지 없는지 조차도 알려지지 않았기 때문이다. (온라인 자료는 Wikipedia, Mathworld를 보라.) 만약 $2^{n-1}$ 가 1과 그 자신 외에 다른 자연수로 나뉘지 않는다면, 짝수인 완전수는 모두 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ 형태를 갖는다.

Amicable_numbers : 완전수는 그 자신의 곱셈의 분해 원소들을 덧셈하면 그 자신이 나오는 것인데 비해 친구수(amicable numbers)는 두 수의 쌍으로, 한 수의 곱셈의 분해원소를 합하면 다른 수가 나오고 그 역도 성립하는 수들을 말한다. 예들들어 (220, 284), (6232, 6368) , (17296, 18416) , (9363584, 9437056). 피타고라스 학파 이후 이 자연수 세계의 신비로움을 말하는 꽃이었다. 친구수를 찾을 수 있는 규칙이 9세기 아랍의 학자에게서 발견되기는 했지만 여전히 불완전하다. 고대 그리스에서 이미 이 수의 쌍에 관심을 갖었다. 그러나 이 천 여년동안 고작 세쌍만 발견이 되었을 뿐이다. 그런데 오일러는 생애 59개의 새로운 친구수 쌍을 발견하는 기염을 토했다.

소수와 소수 아닌 수란 분류도 가능하다. 소수의 구조도 발견되지 않았다.

위에서 보듯, 함수 f(n)이 현란해졌다. 다시 말하면 이 부분집합의 구조는 복잡해진 것이다. 덕분에 이제 이 부분집합의 세계는 충분히 흥미를 끌만큼 많은 보석같은 문제들을 숨어 있을 것이다.

앞에서 완전수를 말할 때, 우리는 1이 아닌 다른 수로 나누어 떨어지는 수에 대하여 언급하였다. 다시 말해 자연수를 분류할 때, 그런 성질을 갖는 수(소수)와 그렇지 않은 수로도 나누어 볼 수 있는 것이다. 이 소수들의 성격이 '뻔하지 않다'. 반대로 '아주 복잡하다.' 소수에 대해 앞으로 계속 이야기해보기로 한다.

Note

↑
- 짝수와 홀수를 모두 합하면 자연수 전체가 되고, 짝수이면서 동시에 홀수가 되는 수가 없다. 짝수와 홀수가 자연수를 '나누는 (또는 쪼개는) ' 것이다.
$Even\cup Odd=\mathbb {N} ,\ Even\cap Odd=\emptyset$
일반적으로 어떤 집합에 대하여 두 부분집합의 공통원소가 없고 두 부분집합을 합하면 전체집합이 나올 때 이를 '쪼갠다' 또는 '나눈다'고 한다.
- 짝수와 홀수 중 어느 쪽이 더 많을까?

[1] 
짝수와 홀수를 모두 합하면 자연수 전체가 되고, 짝수이면서 동시에 홀수가 되는 수가 없다. 짝수와 홀수가 자연수를 '나누는 (또는 쪼개는) ' 것이다.

$Even\cup Odd=\mathbb {N} ,\ Even\cap Odd=\emptyset$
일반적으로 어떤 집합에 대하여 두 부분집합의 공통원소가 없고 두 부분집합을 합하면 전체집합이 나올 때 이를 '쪼갠다' 또는 '나눈다'고 한다.
짝수와 홀수 중 어느 쪽이 더 많을까?

[2] 짝수와 홀수를 모두 합하면 자연수 전체가 되고, 짝수이면서 동시에 홀수가 되는 수가 없다. 짝수와 홀수가 자연수를 '나누는 (또는 쪼개는) ' 것이다.

[3] 짝수와 홀수 중 어느 쪽이 더 많을까?

[1]