Inversive orthogonality

Inversion & Inversive Geometry 로 돌아가기

각이란 두 직선의 관계다. 두 원에 대해 각을 정의할 때도 만나는 점에서 지나는 접선으로 정의하는 것은 자연스러운 귀결이다. 우리는 이미 뒤집기의 정의와 성질 에서 어떤 직선이나 원이나 그것을 뒤집어도 각의 관계는 변하지 않는다는 사실을 확인했다. 따라서 직각인 어떤 각도 변하지 않는다. 그런데 '직각인 관계로 맺어지는 원들'은 특별한 지위를 갖는다. 비유클리드 기하학을 나타낼 수 있는 모델에서도, 원들의 다발(pencil)의 성질에서도. 이러한 새로운 세상으로 길을 떠날 채비로 여기서는 원들의 직각성에 대한 성질들을 탐구하기로 한다.

뒤집기 원에 직각인 원

유클리드 평면에서 직선 대칭을 생각해보자. 대칭 축에 직각인 직선을 대칭하면 그대로 직선이 되는 것은 뻔하다. 그래서 이런 '기분좋은' 성질이 뒤집기 원과 직각 관계에 있는,

뒤집기 원과 직각인 원을 뒤집으면 그대로다.

다시 대칭을 생각해보면, 축에 대칭해서 그대로 남는 것은 수직인 직선 밖에 없을까? 물론 그렇지 않다. 중심이 축을 지나는 원, 밑변의 수직 이등분선과 맞은 편 꼭지점이 축을 지나는 이등변 삼각형 들 뿐만 아니라 축에 대칭인 모든 도형은 직선 대칭하고 그 자리에 남는다. 이것은 직선 대칭이 대칭되는 두 평면에서 거리를 유지하며 '밋밋하게' 옮겨주기 때문이다. 이에 비해 뒤집기는 더 다이나믹 & 드라마틱 하게 변화시킨다. 이제 앞의 역인 성질을 보자. 직각이 아닌 원도 뒤집어서 그대로인 원이 있을까? 그렇지 않다.

뒤집혀도 그대로인 원은 뒤집기 원과 직각이다.

뒤집기에 대해 '축에 대칭후 그자신으로 남는 성질' 과 '대칭 축에 직각이라는 성질' 은 등가다. 따라서 어떤 원을 뒤집기 원을 축으로 뒤집어 그 자신으로 남는 원들은 뒤집기 원과 직각인 원 밖에 없다.

이제 뒤집기 원에 직각인 두 원 $\sigma _{1},\sigma _{2}$ 을 보자. 만약 이 두 원이 두 점 P, Q 에서 만난다면 P 와 Q 는 어떤 관계일까? 다. 뒤집기 원에 직각인 두 원은 뒤집어도, 그 결과 $\sigma _{1}',\sigma _{2}'$ 는 그 원이라는 집합 그대로다. 다만 뒤집기 원에 대해 안쪽은 바깥쪽으로 바깥쪽은 안쪽으로 바뀐다. P 는 P' 로 Q = Q' 로 바뀔 것이다. 그런데 $\sigma _{1}\cap \sigma _{2}=\{\ P,Q\ \}$ 이고 뒤집힌 원들은 그대로 이므로 $\sigma _{1}'\cap \sigma _{2}'$ 도 $\{\ P,Q\ \}$ 다. 따라서 P' = Q 고 Q' 는 P 로 대응한다.

뒤집기 원에 대해 직각인 두 원이 두 점 P, Q 에서 만난다면, P' = Q 다.

이것으로부터 우리는 어떤 점 P 의 뒤집기 점을 찾는 새로운 방법을 안 셈이다. 또는 뒤집기를 '직각성'의 개념에 기대어 달리 정의해볼 수도 있다.

정의 (뒤집기 )  : 두 점에서 만나는 두 원이 어떤 원과 직각이면, 만난 한 점에 대한 뒤집기는 다른 만나는 점이다.

두 점을 지나면서 원과 직각인 원찾기

이미 뒤집기의 정의와 성질 에서 본 성질을, 확인하는 뜻에서 요약해보겠다.

• 두 원이 두 점에서 만나면 두 점에서 각은 같다. 따라서 만나는 한 점에서 직각이면 다른 점에서도 직각이다.
• 직각인 두 원(또는 직선)을 뒤집으면 뒤집힌 두 원(또는 직선)도 직각이다.

이제 직각과 연관된 새로운 성질들을 보자. 우리가 여기서 관심을 가질 내용들은 아래와 같다.

어떤 원 $\Sigma$ 에 다른 원 $\Gamma$ 이 직각이면 만난 점에서 $\Sigma$ 의 접선은 $\Gamma$ 의 중심을 지난다.

어떤 두 원이 두 점에서 만난다면, 두 원의 중심을 지나는 직선은 만나는 두 점이 이루는 선분의 중간을 지나고 직선과 선분이 수직이라는 사실을 떠올려보라. 어떤 원에 두 점이 있을 때, 그 두 점을 지나면서 그 원과 직각이 되는 원을 찾는 문제는 어렵지 않게 풀릴 것이다.

어떤 원에 두 점 A, B 가 있다면 그 두 점을 지나는 직각인 원이 있다. (또는 작도하라.)

$\forall \Sigma \forall A,B\in \Sigma \exists \Gamma \ (A,B\in \Gamma \ \And \Sigma \perp \Gamma )$

두 점 A , B 를 잇는다. 그 가운데 점을 찾아 그 점에서 직각인 직선 l 을 작도한다. 점 A 에서 직각인 직선 m 을 작도한다. 그 두 직선이 만나는 점이 우리가 찾던 원의 중심이다. 그런데 만약 l 과 m 이 안만난다면? 두 직선이 평행하므로 이 경우는 A와 B가 주어진 원의 지름을 이루는 경우다. 그렇다면 이 직선 (AB) 가 우리가 찾던 '원'이다.

한 점이 어떤 원의 바깥쪽에 있을 때, 그 점을 중심으로 하고 그 원과 직각인 원이 있다. (또는 작도하라.)

$\forall \Sigma \forall C\in \mathbf {ext} (\Sigma )\exists \Gamma \ (\Gamma (C)\ \And \Sigma \perp \Gamma (C))$

두 점 O, C를 지름으로 하는 원을 작도한다. 그 원과 주어진 원은 두 점에서 만날 것이다. 그 중 하나를 A 라 하자. OC는 지름이므로 각 CAO는 직각일 것이고 점 A 에서 접선은 C를 지날 수 밖에 없다. 이 C 를 중심으로 하고 선분 OA를 반지름으로 하는 원을 작도하면 그 원은 물론 점 A 에서 주어진 원에 대해 직각이다.

어떤 원에 어떤 점 A 가 , 어떤 원 '안쪽'에 어떤 점 B 가 있으면 그 점을 지나는 직각인 원이 있다. (또는 작도하라.)

$\forall \Sigma \forall A\in \Sigma \forall B\in \mathbf {int} (\Sigma )\exists \Gamma \ (A\in \Gamma \ \And \Sigma \perp \Gamma )$

두 점 A, B 을 잇는다. 선분 [AB] 의 가운데를 지나면서 직선 (AB)와 수직인 직선 l 을 작도한다. 점 A 를 지나면서 (OA) 와 수직인 직선 m 을 작도한다. 두 직선 l 과 m 이 만나는 점 C 을 중심으로 하고 반지름이 [AC] 인 원이 찾던 원이다.

이제 한 점은 원에 있고 다른 점은 원의 '바깥쪽'에 있을 경우를 보자. 앞에서 했던 것과 뒤집기에서 직각성에 관한 성질을 쓰면 이 문제를 어렵지 않게 풀 수 있다.

어떤 원에 어떤 점 A 가 , '바깥쪽' 에 점 B 가 있으면 그 두 점을 지나는 직각인 원이 있다. (또는 작도하라.)

$\forall \Sigma \forall A\in \Sigma \forall B\in \mathbf {ext} (\Sigma )\exists \Gamma \ (A,B\in \Gamma \ \And \Sigma \perp \Gamma )$

점 B 를 주어진 원을 축으로 뒤집는다. B' 는 원 안쪽의 점이 될 것이고 A 는 그 자리에 그래도 남는다. 이제 A, B' 로 주어진 원과 직각인 원을 작도한다. 이 원을 다시 뒤집으면 축과 직각이기 때문에 원은 그래도 남고 안쪽의 점들은 바깥쪽으로 바깥쪽의 점들은 안으로 대응한다. 따라서 이 원은 B 도 지난다. 이 원이 찾던 원이다.

두 점이 모두 안쪽에 있는 경우. $OC\cdot OB=r^{2}$ 인 점 C 를 찾는다. 이 점 C 은 주어진 원을 축으로 했을 때, B 의 뒤집힌 점으로 바깥에 있게 된다. 이제 세 점 A, B, C 를 지나는 원을 작도한다. 외심을 찾으면 되니까. $\mathbf {I} _{O}(B')=C$ 이므로 이 원은 주어진 원을 축으로 뒤집어도 그 원으로 남으므로 그 원의 모든 점들도 그 원에 있게 된다. 그래서 우리가 찾은 원은 축인 원과 직각이다. 따라서 원의 '바깥쪽'에 두 점이 있다해도 문제 될 게 없다. '안쪽'으로 뒤집어서 두 점에 대해 앞의 알고리듬으로 작도해서 얻은 원이다.

결론적으로 두 점이 주어진 원과 어떤 관계에 있어도 직각이면서 그 두 점을 지나는 원을 작도할 수 있다.

뒤집기 원 찾기

어떤 원이 있을 때, 그 점과 연관된 것을 뒤집을 수 있는 원(뒤집기 원) 이 있을까?

중심이 C 인 어떤 원이 있고, 그 안쪽에 점 A 가 있다고 하자. 그렇다면 중심과 그 점을 서로 뒤집기 관계로 하는 뒤집는 원을 찾을 수 있을까? 뒤집기 관계이기 이해서는 우선 두 점이 한 직선에 있어야 할 테까, 먼저 점 중심 C 와 점 A를 잇는 직선 (CA) 를 얻는다. 이 직선의 한 점인 A에서 직각인 직선 l 을 작도한다. 이 직선 l 은 주어진 원과 두 점에서 만날 것이다. 그 중 한 점을 P라 하면 그 점에서의 접선을 작도하여, 다시 말해, 그 점을 지나면서 (OP)와 수직인 직선 m 을 작도하여, 두 직선 m 과 l 이 만나는 점을 O 라 한다. 다 되었다. O를 중심으로, [OP]를 반지름으로하는 원이 우리가 찾던 원인다.(왜 그런가? ) 이 원은 주어진 원과 직각이다. 이 원은 축의 역할을 해서 처음 주어진 원의 A 를 그 원의 중심으로 뒤집는다.

중심이 C 인 어떤 원이 있다고 하자. 그 안쪽에 있는 점 A 를 중심 C 로 뒤집는 원이 있다.

두 원 $\sigma _{1},\sigma _{2}$ 이 있다면 서로 뒤집기 관계로 하는 뒤집기 대칭 축이 있을까? 우선 두 원이 아무렇게나 있지 않고 조건을 하나 붙여서 문제를 쉽게 만들어보자. 이 두 원이 모두 어떤 원 $\Sigma$ 에 대해 직각이라고 해보는 것이다. 원 $\Sigma$ 에 대해 직각이라고 했으므로, $\sigma _{i}$ 과 각을 이루는 두 점을 $A_{i},B_{i}$ 이라 하자.(i = 1, 2) 이때, 직선 $(A_{1}A_{2})$ 와 $(B_{1}B_{2})$ 이 만나는 점을 O 라 놓자. (그런데, 위의 두 직선이 평행하다면 어떻게 될까?) 이 점은 원 $\Sigma$ 의 바깥에 있을 것이다. 따라서 앞에서 보았듯이, 밖에 있는 한 점에서 $\Sigma$ 에 '직각인 원'을 작도할 수 있다. 이 원이 우리가 찾던 원이다. (왜?)

두 원이 있다고 하자. 한 원을 뒤집어 다른 원이 되는 뒤집기 원이 있다.

어떤 원 $\sigma$ 을 뒤집어도 그대로 두고, 그 안의 두 점 A, B 을 그 자리에 그대로 두면서 $\sigma$ 와 직각인 뒤집기 원이 있을까? 그렇다. 앞에서 보았듯이, 두 점 중 하나, 예를들어 점 A 를 뒤집어 그 원의 중심 O (= A')으로 보내는 뒤집기 원 $\Sigma$ 이 있다. 다른 점 B 는 어딘가로 대응할 것이다. 그 점을 B'라 하자. 직선 (A'B') (= 직선 (OB')) 을 작도한다. 뒤집기 원 $\Sigma$ 에 대해 다시 뒤집자. 어떻게 될까? 물론 A' 는 A 로, B'는 B 로 가서 그 자리에 그대로 있게 된다. 그렇다면 직선 (A'B') 은 ? 이 직선 $\sigma$ 은 원으로 바뀔 것이다. 어떤 원일까? $\sigma$ 의 중심을 지나므로, 그 원과 직각이었고, 뒤집은 다음에 각의 관계는 안변하기 때문에 $\sigma$ 와 직각인 원으로 된다.

어떤 원을 뒤집어도 그대로 두고, 그 안의 두 점 A, B 을 그 자리에 그대로 두면서 주어진 원이 있다.

이 결과도 주어진 원과 직각이면서 그 안의 두 점을 지나는 원을 작도할 수 있다는 것을 말해준다.

문제

• 직각성과 관련된 다른 문제들 참고.

Q : 어떤 두 원과 한 점 X 이 있을 때, 그 점을 지나고 두 원과 직각인 원이 있을까? (있는 경우 작도하라.)

Q : 두 원의 '바깥쪽'에 한 원으로 있는, 세 원이 있다고 하자. 이 세 원 모두와 직각이 되는 원을 작도하라.

Note

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