Inversion

'뒤집기(Inversion ; 반전)'는 기하학에서 중요한 transformation의 하나다. 평면에서 평면으로 대응이라는 transformation 의 관점에서만 봐도 다른 대응에서 만나지 못했던 흥미로운 사실들이 나오고 이것을 응용해서 어떤 성질을 더 간단히 증명할 수도 있다. 비유클리드 기하학 의 모델의 하나인 '포앙카레 모델'로 가는데 응용되어 든든한 주춧돌의 역할을 하기도 한다. 여기서는 '뒤집기'의 여러 성질을 보고 포앙카레 모델까지 살짝 만나보기로 한다.

어떤 평면은 원으로 둘로 나뉜다. 뒤집기로 원 '안쪽'의 점들은 바깥쪽으로 대응하고 바깥쪽의 점들은 안으로 대응한다. 평면을 둘로 나누어 한쪽에서 다른 쪽으로 대응하였던 대응은 이미 앞에서 보았던 '대칭(symmetry)' 이 있었다. 그래서 뒤집기를 '원에 대한 대칭'으로 부르기도 한다. 앞으로 필요한 원의 성질들을 먼저 살피고 넘어가도록 하자.

원의 정의와 몇가지 성질

'뒤집기'를 일반적으로 정의하고 나서 '어떤 원에 대한 뒤집기'를 정의할 것이다. 여기서는 주로 어떤 원에 대한 뒤집기에 대한 기본성질을 본다. 여기서는 '모든 원은 원으로 뒤집어진다.' 와 '어떤 원 $\Sigma$ 에 직각인 원을 그 원 $\Sigma$ 에 대해 뒤집으면 직각인 원으로 뒤집어 진다. 에 촛점을 맞출 것이다.

뒤집기의 정의와 기본 성질

두 직선이 이루는 각은 뒤집힌 다음에도 변하지 않는다. 따라서 두 직선이 직각이라면 뒤집힌 원들도 만나는 점에서 직각이고 그 역도 참이다. 뒤집기에서 '직각성'은 매우 중요한 역할을 한다. 특히 비유클리드 기하학을 나타낼 모델로 푸랑카레가 제시하는데 원의 직각성 개념은 가장 기초적인 요소다. 여기서는 원과 직각성, 그리고 이와 관련된 뒤집기의 성질들을 보기로 한다.

직각인 원들의 관계와 뒤집기

Inversive 평면, mid-circle, inversive distance, Steiner's porism (또는 Steiner Chain) , Hyperbolic function 의 기초 개념.

Inversive Geometry

이제 뒤집기가 얼마나 막강한 위력을 발휘하는지 볼 차례다. '아폴로니우스 문제'와 '포이에르바흐 문제' 를 비롯해서 유클리드 기하학의 여러 문제를 해결하는데 뒤집기 transformation 을 써 볼 것이다.

뒤집기의 응용

비유클리드 기하학의 포앙카레 모델 . 핵심이 되는 기초 성질과 이 모델에서의 점, 선, 면, 평행성 들의 개념.

포앙카레 모델

직선을 현실에서 그리는 도구로 '자'가 있고, 원을 그리는 도구로 '컴퍼스'가 있다면, 뒤집기를 실현할 수 있는 도구는? 뒤집기를 실현할 도구 inversor의 작동 원리를 본다.

Inversor

Note