Pi-Leibniz

이 page는 앞으로 많이 보태질 계획입니다. 누구나 글을 쓸 수 있습니다. 정성을 모아주십시오. ( 수학식 쓰기)

Leibniz 수열의 합으로

S_{n}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}

라 하면,

 ${\frac {\pi }{4}}=\lim _{n\to \infty }S_{n}$

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots

왜 그럴까? 어떻게 이것을 발견했고, 왜 이것을 믿을 수 밖에 없나?

먼저 다음을 보인다. (왜? )

\sin \pi x=\pi x\left(1-{\frac {x^{2}}{1^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4^{2}}}\right)\cdots

여기서 x 가 1/2 이라하고 풀어보면 된다. 이 과정에서 조심히 디뎌야할 디딤돌은 어느 지점일까?

{\frac {1}{3!}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}+{\frac {1}{(3\pi )^{2}}}+\cdots