Math:Relative Relation
수학에서 상대적 관계를 생각함으로서 막힌 것을 뚫는다.
최대공약수 찾는 알고리듬
최대공약수는 매우 중요한 역할을 한다는 사실을 차차 알아갈 것이다. 그런데 과연 최대공약수를 어떻게 찾을까? 위의 정의대로 하면 a 와 b 라는 두 수가 주어지면 우선 그 수의 공약수를 찾아야 한다. 그 말은 두 수를 소수로 분해한다는 것을 전제하고 있다. 어떤 수를 소수로 분해하는 것은 암호 체계에서 쓰이고 있을 만큼 매우 어려운 알고리듬이다. 다음 예를보자.
- (8,12) = 4 , (5,9) = 1, (12, 18) = 6 , (693, 2541) = 231 , (27797,22781) = 209
수가 커질수록 점점 어려워진다. 그렇다면 두 수의 최대공약수를 찾는 것이 실수를 찾는 것보다 어려운 알고리듬일까? 그렇지는 않다. 하나의 수를 소수로 분해하고 다음 수를 소수로 분해해서 둘을 비교하는 사고틀을 벗어나면 된다. 이 두수의 상대적 관계를 보면서 해결해갈 수 있다. 유클리드 알고리듬 이 바로 그것이다. 유클리드 알고리듬은 아주 단순하면서도 광범위하게 응용되는 중요한 법칙이다. 그것은 주어진 두 수의 '상대적 관계'를 중요하게 생각했다는 점에서 중요한 사고의 전환이라 할만하다. 이에 대해서는 보기로 한다.
무한집합의 비교
일대 일로 짝을 지어 두 집합의 세기를 비교한다는 것은 생각하기에 따라 '그건 당연한 것 아니냐.’고 오히려 의심을 할지 모르지만 여기에는 아주 깊은 ‘사고의 전환’이 있었다. 두 집합의 세기를 견주어 보면서, 집합마다 절대적 기준인‘세어보기’라는 틀을 깨고 집합들 사이의 상대적 기준인‘짝짓기’라는 틀을 도입한 것이다. 사실 이 방식은 중세 갈릴레이의 노년기 저작 "수학적 증명과 대담"이라는 책에서도 그런 사고의 씨앗이 보인다. 또,‘무한’의 세계의 본질에 깊이 들어갔던 볼짜노 도 이런 방식으로 무한을 탐구해들어갔다. 그러나 그는 연구 결과 이상한 결론에 도달한다. 짝수 집합과 자연수 집합처럼, 어떤 집합과 그 진부분 집합이 '같은 세기를 갖는' 경우들이 나오는 것이다. 그래서인지 여기서 더 나아간 연구는 발견되지 않았다. 칸토르는 달랐다.
왜 어떤 집합의 부분집합과 그 자신의 세기가 같으면 안된단 말인가? 유한의 세계에는 그럴 수 없지만, 우리는 '무한'을 탐구하고 있지 않은가? 여기가 어쩌면 칸토르의 천재성이 드러나는 지점이라고 할만하다. 수학의 역사를 보면 '상식' 속에 숨은 오류를 드러내고 끊임없이 새롭게 진실을 탐구해 들어간 인류의 위대함에 경이로움을 갖게 된다. 그런 뜻에서 일까, 칸토르는 이렇게 말했다고 한다.
“수학의 본질은 자유이다”
가우스의 소수 분포
Note
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