Amicable numbers

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친구수

완전수는 그 자신의 곱셈의 분해 원소들을 덧셈하면 그 자신이 나오는 것인데 비해 친구수(amicable numbers)는 두 수의 쌍으로, 한 수의 곱셈의 분해원소를 합하면 다른 수가 나오고 그 역도 성립하는 수들을 말한다. 예들들어 피타고라스 학파가 발견한 것으로 알려진 (220, 284) 이 있다. 그것말고도 (1184,1210), 오일러가 발견한^[1](2620, 2924) ,(5020, 5564) , (6232, 6368) 가 있다. 도 알려진 것으로는 (17296, 18416) , (9363584, 9437056). ^[2] 친구수도, 완전수나, 세쌍수 처럼, 피타고라스 학파 이후 이 자연수 세계의 신비로움을 말하는 꽃이었다. 9세기 아랍의 학자 타빗(Thabit ibn Qurra) 친구수를 찾을 수 있는 규칙을 제안했다. 소수 p,q,r 이 다음의 모양을 가질 때,

p:=3\cdot 2^{n-1}-1

q:=3\cdot 2^{n}-1

r:=9\cdot 2^{2n-1}-1

이라면,

(2^{n}pq,\ 2^{n}r)

은 친구수다. 라고 오늘날의 말로 옮길 수 있다. 그러나, 위의 예들 중, (6232, 6368) 는 이 규칙으로 찾을 수 없다. 그렇다면 이 틀에 넣으면 나오는 모든 수는 친구수일까? 그것도 아니라는 것이 밝혀졌다.

Note

↑ 지금까지 발견된 기록에 따르면 피라고라스 학파 이후 2000여년 동안 친구수는 고작 3개(피타고라스의 (220, 284), 9세기 아랍의 타빗과 17세기 프랑스의 페르마의 (17296, 18416) , 17세기 데카르트의 (9363584, 9437056)) 알려졌다. 오일러는 그의 생애 59개의 새로운 친구수를 찾았다! (64개를 밝혔고 이중 셋은 알려진 것이었고, 둘은 친구수가 아니었다.) 이에 대하여 오일러는 어떻게 그렇게 했을까?(영문) 참고.
↑ 친구수를 모두 모으고 있는 사이트로 들어가보라. 새로운 친구수를 찾아 거기에 이름을 보태보시길.

Note

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