수학적 귀납 (Mathematical Induction)을 적용 예
수학적 귀납
p
>
−
1
{\displaystyle p>-1}
(
1
+
p
)
n
≥
1
+
n
p
{\displaystyle (1+p)^{n}\geq 1+np}
1
+
1
2
+
1
4
+
⋯
+
1
2
n
<
2
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}<2}
1
+
1
4
+
1
9
+
⋯
+
1
n
2
<
2
{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}<2}
(
a
+
b
)
n
=
a
n
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
+
(
n
2
)
a
n
−
2
b
2
+
⋯
(
n
n
−
1
)
a
b
n
−
1
+
b
n
{\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b_{2}+\cdots {n \choose n-1}ab^{n-1}+b^{n}}
여기서
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)}}}
A
n
:=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle A_{n}:=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
A
n
:=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
{\displaystyle A_{n}:=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}
A
n
:=
1
3
+
2
3
+
3
3
+
⋯
+
n
3
=
(
n
(
n
+
1
)
2
)
2
{\displaystyle A_{n}:=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}
A
n
:=
(
1
+
q
)
(
1
+
q
2
)
(
1
+
q
4
)
⋯
(
1
+
q
2
n
)
=
1
−
q
2
n
+
1
1
−
q
{\displaystyle A_{n}:=(1+q)(1+q^{2})(1+q^{4})\cdots (1+q^{2^{n}})={\frac {1-q^{2^{n+1}}}{1-q}}}
A
n
:=
1
1
+
x
2
+
1
(
1
+
x
2
)
2
+
⋯
+
1
(
1
+
x
2
)
n
{\displaystyle A_{n}:={\frac {1}{1+x^{2}}}+{\frac {1}{(1+x^{2})^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}}
A
n
:=
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
n
+
1
)
2
=
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
3
)
3
{\displaystyle A_{n}:=1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots +(2n+1)^{2}={\frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}}
A
n
:=
1
3
+
3
3
+
5
3
+
⋯
+
(
2
n
+
1
)
2
=
(
n
+
1
)
2
(
2
n
2
+
4
n
+
1
)
{\displaystyle A_{n}:=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +(2n+1)^{2}=(n+1)^{2}(2n^{2}+4n+1)}
A
n
:=
a
+
a
q
+
a
q
2
+
⋯
+
a
q
n
=
a
1
−
q
n
+
1
1
−
q
{\displaystyle A_{n}:=a+aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n}=a{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}
다음의 피보나치 수열
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
,
21
,
34
,
55
,
…
{\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots }
111 은 3으로 나뉜다. 111111111(1이 아홉개)은 9로 나뉜다.
111
⋯
111
{\displaystyle 111\cdots 111}
111
⋯
111
{\displaystyle 111\cdots 111}
3
n
{\displaystyle 3^{n}}
3
n
{\displaystyle 3^{n}}
어떤 평면을 직선들이 분할한다. 직선을 두개 이상 그엇을 때, 두가지 색만을 써서 직선을 사이에 두고 마주하는 두 부분은 색이 같지 않도록 칠하는 것은 가능할까?
30원짜리 우표와 50원짜리 우표가 원하는 만큼 많이 있다고 하자. 그렇다면 80원 보다 같거나 우표를 붙여야 하는 곳이라면 어디나 편지를 붙일 수 있다?
(하노이 탑) 아래 그림과 같이 봉이 셋이 있고 크기가 다른 고리들이 있다고 하자. 한고리에서 다른 고리로 옮기려고 한다. 작은 고리 위에 큰 고리를 옮길수 없고 한번에 하나만 옮겨야 한다는 규칙이 있다. 그럴 때 고리의 수가 몇 개가 되든 한고리에 피라미드 모양으로 쌓인 고리를 다른 고리에 그대로 옮길 수 있다는 것을 보이시오. 위키페디아 서 빌려옴
고리가 네개 일 때 옮기는 animation :
위의 그림 주소 서 빌려옴사람들이 많이 오는 모임을 한다. 어떤 사람들은 악수를 하곤 한다. 악수가 홀수번 일어났다면 악수한 사람은 짝수
정사각형들을
2
×
2
,
4
×
4
,
…
,
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2\times 2,4\times 4,\dots ,2^{n}\times 2^{n}}
예)
4
×
4
{\displaystyle 4\times 4}
1과 1일 나란히 써있다고 하자. 그 사이에 이 둘의 합 2을 쓰면 1,2,1을 얻을 수 있다. 다시 이 수열 사이에 이웃하는 수들의 합을 쓰면 1, 3, 2, 3, 1을 얻는다. 위의 과정을 100번 하고 그 수들을 모두 더하면 얼마일까?
다음의 n 이 자연수라면
n
2
−
n
+
41
{\displaystyle n^{2}-n+41}
n = 1 일 때 참. n=2 일 때도 참. n=3, 4, 5, 6, ....에 대해서 계속 참. 그렇다면 모든 자연수에 대해서도 ? 아니다. n 이 41일 때, 소수 아니다. 다음의 n 이 자연수라면,
n
3
+
5
n
{\displaystyle n^{3}+5n}
n = 1 일 때 참. n=2 일 때도 참. n=3, 4, 5, 6, ....에 대해서 계속 참. 그렇다면 언제까지 이것을 검토해볼 수 있을까? 1 일때는 붐분명히 참이다. 이제 어떤 k 에서 위의 문장이 참일 때, k+1 에서도 참이 되는가 확인해보자. 그렇다. 왜?
(
k
+
1
)
3
+
5
(
k
+
1
)
=
(
n
3
+
5
n
)
+
3
n
(
n
+
1
)
+
6
{\displaystyle (k+1)^{3}+5(k+1)=(n^{3}+5n)+3n(n+1)+6}
n
3
+
5
n
{\displaystyle n^{3}+5n}
3
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle 3n(n+1)}
6
(
n
(
n
+
1
)
2
)
{\displaystyle 6({\frac {n(n+1)}{2}})}
재미있거나, 재미없는 문제들이 계속 추가됩니다 :)
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