Negative Number

자연수를 너머 로 돌아가기

음수 음수란 무엇일까? 고대 동양철학에서는 세계의 궁극적인 것 태극(太極)은 음(陰)과 양(陽)으로 나뉜다. 이 철학은 현묘해서 우리가 여기서 다룰 수는 없다. 다만 우리나라 국기를 생각해보자. 태극기를 보면 순수의 색인 흰색 바탕에 태극인 하나의 원이 국기의 중앙에 자리한다. 그리고 원 안에는 태극문양으로 두 세계가 조화를 이루고 있다. 아래는 파란색이요, 위에는 빨간색으로 되어 있다. 이 때 파란색은 음(陰)을, 빨간색은 양(陽)을 뜻한다. 이렇게 하나로서의 전체를 둘로 나누어 생각할 때 동양 사람들은 음과 양이라는 용어를 많이 썼다. 전기에서도 양극과 음극이라는 말을 쓴다.

그런 전통적 철학관이 반영되어 수의 세계에서도 '드러난' 수들을 양수로, 숨어 있는 수들을 음수로 썼다. 과연 수 자체에 이런 '느낌'과 '철학'을 담은 해석이 실제로 그럴까? (여기에 대해서는 이야기할 준비가 안되었다.)

어쨌든 우리나라에서는 0 보다 작은 수들을 음수라고 쓰고 있다. 그리고 중국이나 일본에서는 빚, 부채라는 개념이 들어간 부()의 정수 또는 부수(负数;負數)라고 쓴다. 대부분의 유럽어에서는 이를 부정적인, 또는 소극적인 뜻을 가진 단어와 결합해서 쓴다. 예를들어 영어에서는 negative number 라고 부른다.

이 수가 이렇듯 일상생활에서 '부정적인' '숨어있는' '소극적인' '빚' 이라는 별로 달갑지 않은 용어를 이름으로 붙이게 된 데는 그만한 이유가 있다. 실제로 지금처럼 음수를 당연한 것으로 받아들이고 쓰는 시대는 없었다. 비록 중국에서는 최소한 2천년전에 음수에 대한 셈법이 있었고, 고대 인도에서도 이런 이상한 수에 대해 자각하고 있긴 했지만, 지금처럼 널리, 그리고 자연스럽게 쓰인 것은 최근 몇 백년 밖에 안되었다. 지금은 음수의 도움을 받아, 일상에서도 기온, 방향, 빚을 주고 받은 것에도 쓴다. 음수의 역사적 문화적 자료를 다루는 것은 인류의 정신-문화사를 다루는 것과 다루는 묵직한 주제다. 음수를 향한 우리의 관심은 이 정도만 하고 그것읜 수학적, 논리적 배경을 탐구하고 해석해보기로 하자.

음수란 무엇인가?

음수란 양수에 상대적인 수다. 그 중심에는 0 이 있다. 0 을 기준으로 양수와 대응한다고 이해한다. 양수가 0 보다 큰 어떤 수들이라면 음수는 0 보다 그만큼 작은 어떤 수들이다. 그런데 아무것도 없다는 뜻으로 해석할 수 있는 0 의 반대편에 어떻게 수가 있을 수 있을까? 우선 음수에 대한 다양한 해석들을 먼저 보기로 하자.

수를 직선과 대응시켜 보는 관점

수란 언제 어디에서 실재로 만지거나 볼 수 있는 무엇이 아니다. 그것은 우리의 마음에 있는 무엇이다. 아주 어렸을 적에는 그것을 분명하게 모르지만, 언제부터인가 그것을 분명한 무엇으로 받아들인다. 나는 수를 본적이 없지만, 나의 직관은 수를 안다. 그리고 그것을 기호로 나타낸다. 인류의 오랜 역사가 그런 과정을 밟아왔다. 자연수만 하더라도 그랬다. 그러나 여러가지 이유로 사람들은 자연수로는 만족할 수 없었다. 자연수는 띄엄띄엄 하나씩 커져가기 때문에 시작점에서 점점 멀어져가거나 커져한다는 느낌을 준다. 하지만, 미래가 있듯이 과거가 있고, 수평선 위가 있듯이 아래가 있다. 거울을 보면 내가 있고 나의 상의 거울 '저편에' 있다. 이렇듯 존재하는 무엇에 대응하는 '반대편'에 대해 사고 하는데 익숙하다.

자연수를 '보고 싶었던' 사람들의 열정은 그것을 기호로 표시하기도 하지만, 직선에 같은 간격으로 띄엄띄엄 점을 찍어 표시하기도 한다. 직선과 점이라는 기하학적 도구를 빌어서 자연수를 보고자 했던 것이다. 그리고 0 의 발견이 있었고, 수직선 모델로 이미 '볼 수 있는' 자연수의 '반대편'도 보고 싶었을 것이다. 그렇다면 직선에 한 점을 찍고 그것을 0 과 대응한 다음 한 쪽을 자연수로 그리고 자연수 마다 대응하는 반대편의 수를 표시할 수 있다. 그리고 그것을 음수로 받아들인다.

다른 관점들

• 부채개념 : 고대 인도, 중세 아랍, 그리고 현대에 이르기까지.
• 기타... ?

음수는 어떻게 표시하나 ?

지금까지 우리는 음수를 정의하지 않았다. 어쩌면 음수는 정의할 수 없는 수다. 점이나 직선, 집합, 함수 같은 수학의 개념이 그렇듯. 그것들은 다만 직관적으로 받아들여질 때에야 비로소 의미를 갖게 된다. 마치 아래 시의 '꽃' 과 같다. 김춘수의 '꽃' 이다.

내가 그의 이름을 불러 주기 전에는

그는 다만

하나의 몸짓에 지나지 않았다.

내가 그의 이름을 불러 주었을 때,

그는 나에게로 와서

꽃이 되었다.

내가 그의 이름을 불러준 것처럼

나의 이 빛깔과 향기(香氣)에 알맞은

누가 나의 이름을 불러다오.

그에게로 가서 나도

그의 꽃이 되고 싶다.

우리들은 모두

무엇이 되고 싶다.

너는 나에게 나는 너에게

잊혀지지 않는 하나의 눈짓이 되고 싶다.

우리가 불러주었을 때, 음수는 수가 되었다. 이제 그런 수는 있다. 그리고 수직선 모델을 통해 점과 대응시켜서 '보았다'. 하지만 여전히 우리가 그것을 정의한 것은 아니다.

여기서도 음수를 정의하지 않고 그냥 표시부터 해보자. 자연수는 우리에게 있는 것이기 때문에 자연수 앞에 부호 '-'를 붙이면 그것을 음수라 하는 것이다. 자연수 1, 2, 3, ... 에 대해 그것에 '대응하는' -1, -2, -3, ... 을 음수라 하는 것이다. 자연수를 기호로 표시하였듯이 수직선 모델에서 0 에 대응하여 '분명히 있는' 그 수들에 대해서도 기호로 표시해 준 것이다. 그런데, 자연수에 대응한다면 자연수 앞에 아무 기호나 써도 되었을텐데 왜 하필이면 뺄셈연산과 비슷한 기호인 '-'를 붙인 것일까? 음수 2, 음수 5, 음수 100 을 *2 나 #5 나, ~100 를 쓰지 않고 왜 하필, -2, -5, -100 으로 표시하는 것일까? 그렇게 써야한다는 법은 없었다. 그렇게 안쓰면 가두거나 처벌한 것도 아니다. 그렇게 써왔고 그렇게 썼을 때 크게 불편하지 않았다. 다른 기호보다 장점이 더 있었기 때문에 지금까지 그렇게 쓰고 있을 것이다. 도대체 어떤 장점이 있었기 때문일까 ? 이 문제는 차차 터득해가기로 하고 잠시 껑충 뛰자.

일단 이런 '표현 규칙'을 만들었다고 해보자.

• 음수란 그 수 표현 앞에 '-' 가 붙은 수다.
• 양수란 '+' 부호를 붙인다.
• 어떤 수의 절대값은 부호를 떼어버린 수다.
• 0 은 -0 이기도 하고 +0 이기도 한 유일한 수다.
• 그 수 앞에 뺄셈이 있으면 연산 부호와 그 수의 부호는 모두 바뀐다. (+4) - (+3) 은 (+4) + (-3) 과 같고, (+7) - (-5) 는 (+7) + (+5) 다.
• 그 수 앞에 덧셈이 있으면 부호는 변하지 않는다.

음수의 비교 관계

어딘가 숨어 있는 듯한, 잠겨 있는 듯한 수, 음수를 정의하지는 않았지만, 우리는 몸짓들에 이름을 불러 주었다. 그렇다면 이제 우리는 그것이 있다는 것을 자연스럽게 받아들이고 그것을 수학의 세계 속에서 어떤 성격을 가지는지 볼 차례다. 자연수 세계에서도 그랬듯, 우리는 이 수들을 비교해보는 일부터 하자. 자연수 세계에서 쓰던 같음(=) 과 대소(<) 관계를 정수까지 확장하는 것이다. 자연수에서 썼을 때처럼 그 '항상성'을 지켜주기 위해 같음과 대소 관계를 정의할 때 자연수 부분은 그대로 남도록 해주는 것이 좋을 것이다.

음수의 같음

정수 전체에서 같음 관계를 다음과 같이 정해주자.

정의 (정수의 같음) : 부호가 같고 부호를 떼어낸 절대값이 같으면 그때 두 수를 '같다'고 한다.

이렇게 하면 양수인 자연수 부분은 고스란히 지켜지고 양수와 음수는 같을 수 없으며 절대값이 같은 음수끼리를 같게 된다.

음수의 대소

정수 전체에 통할 대소관계를 정해줄 차례다. 어떻게 정하든 그 나름의 수학이 될 테지만, 우리는 다음과 같은 목표를 정한다.

• 첫째, 양수 부분인 자연수 세계에서 통하는 대소관계의 성질을 그대로 지켜주자.
• 둘째, 음수를 보기위해 썼던 수직선 모델과 충돌이 안나게 해주자.
• 세째, 음수를 나타내기로 한 규칙과도 충돌을 일으키지 않게 하자.

이 목표를 위해 어떻게 정해주면 될까? 아래 정의를 추천한다.

정의 (정수의 대소) : 양수는 절대값이 큰 수가 크다. 음수는 절대값이 큰 수가 작다. 모든 양수는 0 보다 크고, 모든 음수는 0 보다 작다.

어떤가, 마음에 드는지? 이렇게 정해주면 어렵지 않게 알 수 있듯, 정수는 수직선 모델에서 자연수들과 0 을 중심으로 대칭하게 되고 우리의 목표를 모두 만족한다.그래서 자연수에서 썼던 기호를 그대로 여기서도 쓰자. 어떤 정수 a 가 b 보다 크다면,

$b<a$

라고. 그렇다면 어떤 두 정수에 대해서도 우리는 같거나 대소를 비교할 수 있다.

$\forall a,b\in \mathbb {Z} \ (a=b\ \lor \ a<b\ \lor \ b<a)$

대소관계가 자연수에서 통했던 모든 성질을 여기서도 마찬가지라는 것을 증명(!)해보라.

음수의 덧셈과 곱셈

새로운 수들의 모임에 대해 셈을 어떻게 할지 정해주고 싶다. 덧셈과 곱셈에 대해서는 정수 유리수의 덧셈 곱셈 부분에도 설명된다.

음수의 덧셈

여기서도 우리의 목표는 대소관계에서 정한 목표와 다를 이유가 없다. 정수까지 확장하노라면 양수와 음수도 연산으로 어울리게 될 터이므로 그에 대해서도 덧셈의 연산을 정해주자.

• 0 과 어떤 정수를 더하면 항상 그 자신이다 : x + 0 = x
• 양수끼리, 또는, 음수끼리 덧셈은 절대값끼리 더한 다음 - 를 붙인다 : (+a) + (+b) = +(a+b) , (-a) + (-b) = -(a+b)
• 양수와 음수가 섞여서 덧셈할 경우 절대값 큰 것에서 작은 것의 차이를 계산한 다음, 양수가 절대값이 크면 + 를, 음수가 절대값이 크면 - 를 붙인다.

자, 어떤가? 예를들어

$(-2)+(-5)=-(2+5),\ (-2)+(+5)=+(3),\ (+2)+(-5)=-(3)$

이 된다. 이 정의는 자연수 세계에서 받아들였던 덧셈의 가장 기본적인 성질인 교환, 결합 법칙이 모두 통한다. (직접 확인해보라.) 그 뿐만 아니다. 덧셈이란 무엇이었나? 자연수에서 주어진 어떤 자연수 a 에 x 를 더하면 a < a + x 인 관계가 된다. 어떤 면에서 덧셈은 하나씩 하나씩 커지면서 x 만큼 '차츰 차츰 커지도록' 하는 성질을 갖게 하는 연산이었다. 그런데 음수를 더한다는 것은 어떤 뜻이었는가? 앞에서 한 정의를 따르면 a + x 를 했을 때, x 가 음수라면 그것은 하나씩 하나씩 줄이면서 x 만큼 '차츰 차츰 줄이는' 성질을 갖는다. 그래서 전체 수들이 아주 작은 것으로부터 차례 차례 커지고 커지다가 0 이 되고 그러면서 다시 점점 커져가는 질서 또는 위계를 흐뜨러뜨리지 않는다.

자연수 세계에서 통하지 않았던 새로운 성질이 나타나기도 한다.

어떤 두 정수에 대해서도 $a+x=b$ 인 정수 x 가 항상 존재한다.

그만큼 우리는 더 자유로와진 것이다. 왜 그런가?

$a+x=b\ \Leftrightarrow \ x+a=b\ \Leftrightarrow \ x+a+(-a)=b+(-a)\ \Leftrightarrow \ x+0=b+(-a)\ \Leftrightarrow \ x=b+(-a)$

이고 b + (-a) 는 항상 정수다. 물론 우리가 익숙한 방식대로 쓴다면 b - a 다. 이런 식의 생각은 a - b 를 단지 부호들의 교체와 덧셈으로 정의할 수 있다는 것으로 볼 수 있다는 것을 전제한 것이다. 다시 말해

정의 a - b  : a - b 는 'a 에 b 의 반대부호를 더하라.' 라는 연산이라 하고 이를 'a 에서 b 를 빼기'라고 부른다.

예를들어

$(+2)-(+3):=(+2)+(-3),\ (+3)-(-5):=(+3)+(+5)$

우리가 받아들이고 있는 것과 차이가 없다. 이렇게 뺄셈을 정의하는 방식은 자연수 세계에서 했던 것과 조금 차이가 있다. 뺄셈은 아래와 같이 덧셈의 역연산으로 정의했었다.

정의 a - b  : a + x = b 가 되는 x 를 a - b 라고 쓰고 이 x 를 찾는 연산을 'a 에서 b 를 빼기'라고 부른다.

라는 식으로 방정식의 해를 찾는 과정으로 뺄셈을 정의했던 것과 다르게 여기서는 순수하게 기호로만 정의한 것이다. 어떤 것이든 결과는 같다. 이제 우리는

$a+c=b\ \Leftrightarrow a=b-c$

라는 사실을 의심하지 않아도 된 것이다.

음수의 곱셈

우리의 목표를 계속 유효하다. 자연수 세계에서 그랬듯이 기본적인 법칙이라고 할 수 있는 교환, 결합 법칙이 통하는 것이 좋을 것이다. 거기다 하나 더. 덧셈까지 정의했으니, 곱셈을 정의할 때 덧셈과 곱셈이 어울릴 때의 '분배 법칙'까지 통하면 더 좋을 것이다. 그러면서 수직선 모델이나 기호법칙도 잘 지켜지는 정의, 이것은 어떤가?

정의 (곱셈 ab)  : b 의 절대값만큼 절대값 a 를 반복해서 더하고 b 가 양수면 a 의 기호는 그대로, b 가 음수면 a 의 기호를 바꾼다.

다시 말해 양수와 양수의 곱이나, 음수와 음수의 곱은 양수가 되고, 음수와 양수의 곱은 음수가 된다. 아래에서 a , b 는 부호없는 절대값이라 하자.

$(+a)(+b):=+(\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b})\ \qquad (-a)(+b):=-(\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b})$

$(+a)(-b):=-(\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b})\ \qquad (-a)(-b):=+(\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b})$

이것은 분명히 자연수인 절대값들의 곱을 지켜주면서 부호만 적당히 해주면 된다. 부호가 같은 것 끼리는 양수로 다른 것 끼리는 음수로 했다. 따라서 교환과 결합 법칙을 증명(!)하는 것은 자연수의 교환 결합 법칙으로부터 어렵지 않게 이끌어낼 수 있다. 그렇다면 분배법칙은 ? (교환, 결합, 분배 법칙이 모두 통한다는 것을 증명하라.)

그런데 연산이라면 최소한 다음의 조건은 충족해야하는데 과연 그럴까?

$\forall x,y\ \exists !z\ (xy=z)$

어떤 정수 a 와 b 가 정해지면 그것을 곱셈한 결과는 하나만 나올까? 그렇지 않다면 연산의 정의는 아무 필요 없어진다. 이랬다 저랬다 하다니 ! 현실에서만 그래도 충분하다, 절대적 세계인 수학의 세계에서까지 그런 복잡한 상황을 허용하고 싶지는 않은 소박한 꿈을 깨는 것을 원하지 않는다. 연산이라면 가져야 할 최소한의 성질인 위의 성질은 믿을만 한가? (스스로 증명해보라.)

처음 음수나 덧셈만 하더라도 현실 속의 예와 큰 차이가 없었지만, 점점 현실 속의 무엇으로 이해하기엔 복잡해지고 있다. (곱셈을 현실 속에서 이해할 모델을 생각해보라. ) 예를들어 (+2)(-101) := -202, (-3)(-101) := +303 이 된다.

곱셈한 수들의 대소비교는 자연수 만큼 간단하지는 않다. 자연수에서는 간단했다. 어떤 자연수들 a , b , c 에 대해서도 a < b 이면 ac < bc 다. 그런데 정수는 사정이 다르다.

a < b 이고 0 < c 이면 a c < bc , a < b 이고 0 = c 이면 a c = bc , a < b 이고 c < 0 이면 bc < ac

문제의 조건에서 a < b 이므로 a + x = b 인 양수 x 가 반드시 있다. 따라서 bc = (a + x)c 이고 교환, 분배 법칙에 따라 bc = ac + xc 다. 따라서 c = 0 일 때, 0 < c 일 때, c < 0 일 때, < 의 성질에 따라, 위의 성질은 참이다.

덧셈 곱셈의 분배법칙

다음을 보자. 우리는 처음 자연수를 정의하면서 0 이 등장했을 때 0 의 정의로 어떤 자연수에 대해서건 x - x 인 수라고 정의했다. 그렇다면

$0\cdot a=a\cdot 0=a(b-b)=ab-ab=0$

은 모두 참이다. 첫번째 = 은 '교환법칙', 두번째 = 은 0 의 정의에 따라, 세번째 = 은 덧셈 곱셈의 분배법칙에 따라, 마지막은 다시 0 의 정의에 따라.

0 < a 라 하자. 곱셈의 정의가 (-a)b = -(ab) 가 아니었다면 아래의 식에서 ? 에는 무엇이 들어갈까? 우리가 흔히 아는대로 0 이라고 할 수 있을까?

$ab+(-a)b=?$

우리는 사실, 교환, 결합 법칙이 되도록 곱셈을 정의한 것이기도 하지만, 위의 식이 0 이 되도록, 다시 말해 분배법칙도 성립하도록 정의한 것이다. $ab+(-a)b=(a+(-a))b=0\cdot b=0$

분배법칙이 되도록 곱셈을 정의했고, 분배 법칙 때문에 곱셈이 그렇게 정의 되기도 한다. 이 둘은 뗄레야 뗄 수 없는, 무엇이 앞이다 뒤다 하기 어려운 관계다. 앞의 식에서 아직 곱셈을 정의하지 않았고 대신 분배법칙은 통한다고 하자. 그럴 때 비로소 결론적으로 ab + (-a)b = 0 이 되고, 이로서 (-a)b = -(ab) 로 음수를 곱하면 절대값의 곱에 부호가 한번 바뀌는 것이 음수의 곱셈이라고 할 수 있다.

음수 앞에 다른 부호가 아닌 - 부호를 하는 이유 ?

음수 앞에 굳이 ~ 나 # 과 같은 기호를 안쓰고 - 부호를 쓰는 이유는 분명하다. 이미 앞의 예에서 보듯

$a+(-b)=a-b,\ a-(-b)=a+b$

처럼 음수의 기호는 뺄셈 부호와 항시 바꿔쓸 준비가 되어 있다. 게다가 우리가 지수 연산이나 함수를 정의하면서 다시 나오겠지만, - 부호를 붙이는 곳은 그것이 다른 어떤 기호를 붙이는 것보다 분명하게 '대응'의 뜻을 전달하기 좋기 때문이다.

(예) $2^{-1}:={\frac {1}{2}},\ f^{-1}$ 은 함수 $f$ 의 역연산과 같은 식이다.

Note

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