Period Decimal

순환소수의 성질

우리는 이미 정수와 유리수의 정의 에서 유리수란 무엇인가에 대해 말했다. 순환소수 에서 유리수를 십진법으로 늘려 나타내는 방법(decimal expansion) 에 대해 보았다. 분수꼴로 나타내는 방법에 비해 십진법 늘여쓰기 표현방법은 장점이 여럿있다. 무엇보다 우선 유리수들을 비교하기가 편하다. 이는 하나의 유리수를 나타내는 방법이 분수꼴처럼 끝없이 많지 않기 때문이다. 그런데, 십진법으로 늘여쓰기 방법은 이런 실용적인 장점만 있는 것이 아니다. 이론적인 관점에서 봐도 매우 흥미롭다. 분수꼴에서 드러나지 않은 놀라운 성질들이 담겨 있다. 여기서는 이런 성질들 중 몇 가지를 함께 보도록 하자.

약속

순환하는 마디의 성질을 분명하게 보는 데 집중하려고 한다. 따라서, 우리는 여기서 유리수를 아래와 같이 나타낼 때,

{\frac {a}{b}}

다음과 같은 약속을 하기로 한다. 십진법 늘여쓰기로 나타낼 때, 잡다한 고려 사항을 줄이기 위해서다.

a 와 b 는 모두 양의 정수다. 특히 b 는 1 보다 크다.
$a<b$ 다.
$(a,b)=1$ . 다시 말해, 분모 b 와 분자 a 를 모두 나눌 수 있는 정수가 없다.

이 약속을 잊지 않아야 한다. 이 약속들은 결코 편협한 것이 아니다. 이런 약속을 했다고 해서, 우리가 유리수의 특정한 일부에 대해서만 보는 것이 아니라는 말이다. 이 약속을 지킨 경우에 대해서만 봐도 모든 유리수에 대해 그 순환마디의 성질을 깨달기 충분하다. 왜 그럴까?

양의 정수 : 음의 유리수냐 양의 유리수냐는 순환마디의 성질을 살펴보는 데 영향을 주지 않는다. 순환마디의 성질은 자연스럽게 음의 유리수에 까지 확장할 수 있다. 분모 b 가 1 인 경우는 정수이므로 여기서는 우리의 관심 밖이다.
$a>b$ .

a>b

면

a=bq+a'

이고

a'<b

다. 따라서

{\frac {a}{b}}=q+{\frac {a'}{b}}

고 순환마디는

{\frac {a'}{b}}

에서 나타난다. 순환마디의 성질에 집중하기 위해서는

{\frac {a'}{b}}

부분만 봐도 충분하다.

예)

{\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{2}},\quad {\frac {27}{7}}=3+{\frac {6}{7}}.

$(a,b)=1$ .

분수꼴로 유리수를 나타내는 방법은 끝없이 많다. 분모 분자에 0이 아닌 어떤 수를 고루 곱하면 되기 때문이다. 하나의 유리수가 끝없이 많은 방법으로 표현할 수 있을 때, 우리는 그 중 가장 매끈한(smart) 대표 선수 하나에 대해서만 보기로 하는 것이다.

순환마디의 성질을 보게 하는 것으로특히 세번째 약속이 매우 중요하다.

이제 그렇게 '다듬어놓은' 유리수를 보면 다음과 같은 사실은 분명하다.

유리수 ${\frac {a}{b}}$ 에 대해 십진법 늘여쓰기 방법은 딱 하나다.

이것은 십진법 늘여쓰기 방법의 고유한 성질이다. 어떤 두 유리수 A, B 가 아래와 같이 십진법 늘여쓰기로 표현되었다면,

A=0.\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{n}

B=0.\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\cdots \beta _{m}

서로 다른 숫자가 있거나, n 과 m 이 같지 않을 때, A 와 B 는 같은 수가 될 수 없기 때문이다.

이렇게 설명할 수도 있다.

유리수

{\frac {a}{b}}

에서 십진법 늘여쓰기 방법을 찾아가는 알고리듬은 주어진 a 에서 b를 나누어가는 절차다. 주어진 두 정수 a, b 에 대해 나누기 연산이 내는 결과는 단 하나이므로, 십진법 늘여쓰기의 결과도 유일하다.

다만, 예외가 있다. 이것은 우리가, 점 다음에 끝없이 계속될 수 있다는 가정을 하면서 '무한' 개념을 끌어들이기 때문에 발생한다. 이미 순환소수 에서 보았듯, 점 다음에 끝이 있을 경우에는 9의 끝없는 순환마디로 달리 표현할 수 있다.

예)

1=0.999\cdots ,\quad 0.1=0.0999\cdots ,\quad 0.01=0.00999\cdots ,\quad 0.001=0.000999\cdots

그래서

예)

3.2=3.1+0.1=3.1999\cdots ,\quad 0.456=0.455+0.001=0.455999\cdots

또는

예)

3.2=3.2000\cdots ,\quad 0.456=0.456000\cdots

으로도 나타낼 수 있다. 이런 예외는 순환마디 성질을 보는 데 중요하지 않다. 다만 점 아래 9가 반복해서 끝없이 가는 경우는 점 아래 끝이 있는 방법의 다른 표현일 뿐이라는 사실만 기억하도록 하자. 준비는 끝났다. 이제 순환 마디 안에 어떤 비밀의 세계가 숨어있는지 들어가 보자.

순환마디 나타내기

점으로 정수부분과 1 보다 작은 부분을 구분하는 십진법 늘여쓰기 방법을 할때, 순환 마디가 나올 수 있다. 예를 들어,

{\frac {1}{7}}=0.142857142857142857\cdots

로 점 아래로 142857이 반복한다. 이런 부분을 순환 마디라고 부르자. 이런 경우 순환마디만 강조해서 나타내는 방법은 여럿이다. 보통,

0.(142857)

또는

0.{\overline {142857}}

또는

0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}

로 나타내곤 한다. 비순환 마디와 순환마디가 나오는 경우, 예를 들어,

{\frac {1}{6}}=0.1666\cdots

은

0.1(6)

또는

0.1{\overline {6}}

또는

0.1dot{6}

로 쓴다. 우리는 첫번째 괄호쓰기 방법으로 할 것이다.

십진법 늘여쓰기의 분류

십진법 늘여쓰기로 나타낼 경우 가능한 종류는 크게 세가지다.

점 다음에 십진법으로 나타내는 숫자가 끝이 나는 경우
점 다음에 바로 순환 마디가 끝없이 반복하는 경우
점 바로 다음에 유한개의 비순환마디가 있고 이어서 끝없이 순환마디가 반복하는 경우

아래 그 예를 들었다.

틀:Periodic Decimal Ex

여기서 우리가 집중해서 볼 주제는 이렇다. ${\frac {a}{b}}$ 에 참여하는 a 와 b 만 보고,

위의 세가지 중 어디에 들어가는지를 결정하는 요인은 무엇인가?
순환마디의 길이가 얼마나 되는지 결정하는 요인은 무엇인가?
순환마디안에 어떤 질서가 숨어 있는가? 그 성질과 관련된 수론(number theory)의 성질.

라는 질문들에 답해가는 것이다. 일찍이 가우스(Gauss)도 순환마디와 수론의 관계에 대해 관심을 기울였다고 한다. 여기서는 이론적으로 깊숙히 들어가지는 않고 기본적인 성질들에 대해서만 볼 것이다.

숫자가 끝날 수 있는 경우

이 모든 것은 우리가 유리수를 10진법의 숫자들로 늘여쓰기 하는 데서 비롯된 것이라는 사실을 먼저 강조해야겠다. 예를들어, 1/2 인 유리수를 10진법 늘여쓰기로 나타내면,나눗셈의 알고리듬에 따라 1 : 2를 해볼 수도 있다.(오른쪽 그림)

파일:Division1-2.svg

또는 원칙적으로 10진법 늘여쓰기란 분모를 10 의 몇제곱> 일 때, 분모, 분자가 이루는 fraction 을 점으로 구분해서 간단히 나타내는 방법이기 때문에 그저 이렇게 간단히 할 수도 있다.

{\frac {1}{2}}={\frac {1\cdot 5}{2\cdot 5}}={\frac {5}{10}}=0.5

그렇다면 a < b 이고 (a,b) = 1 일 때, 점 다음에 등장하는 0 부터 9 까지의 숫자들이 언젠가 끝이 난다면, 다시 말해

{\frac {a}{b}}=0.\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{n}

로 나타낼 수 있는 자연수 n 이 분명히 있다면, 아래 내용은 어렵지 않게 보일 수 있다.

유리수 ${\frac {a}{b}}$ 의 분모가 2 또는 5 로만 나뉠 수 있다면, 점 다음에 쓰이는 숫자는 끝 날 수 있다.

분모가 2 또는 5 로만 나뉜다면, 일반적으로,

{\frac {a}{b}}={\frac {a}{2^{k}5^{l}}}

꼴이다. 따라서, k 와 l 중 큰 값을 선택해서 그 차이만큼 분자 분모에 곱해 주면 (아래에서는 k 가 크다고 가정했다.)

{\frac {a}{b}}={\frac {a\cdot 5^{k-l}}{2^{k}5^{l}5^{k-l}}}={\frac {a\cdot 5^{k-l}}{(2\cdot 5)^{k}}}={\frac {a\cdot 5^{k-l}}{10^{k}}}

이다. 따라서 $0.\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{k}$ 로 나타낼 수 있다.

아울러 그 역도 성립한다.

점 다음에 쓰이는 숫자가 끝 날 수 있으면, 분모가 2 또는 5 로만 나뉠 수 있는 유리수 ${\frac {a}{b}}$ 가 될 수 있다.

왜 그럴까? 전제 부분이 참이면, 앞에서 말했듯, 그 유리수 ${\frac {a}{b}}$ 를 10진법 늘여쓰기로 나타낼 경우 $0.\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{n}$ 인 n 이 있다는 말이다. 따라서, 그것을 fraction 꼴로 나타내면

{\frac {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{n}}{10^{n}}}

이다. 따라서 분자와 분모를 모두 나누는 수(common divisor)로 나누어 ${\frac {a}{b}}$ 꼴을 만든다해도 분모는 역시 2 또는 5 만을 factor로 갖는다. 그 외의 factor 는 있을 수 없다. (다시 한번, 산술의 기본정리 은 정말로 fundamental 하지 아니한가!)

따라서,

10진법 늘여쓰기로 나타낼 때, 점 아래 끝이 난다는 사실과 분모의 factor들이 2 또는 5로만 되어 있다는 사실은 논리적으로 등가다.

이 결과를 얻는 것은 많은 수고를 들이지 않았지만, 이 결과만으로도 충분히 의미심장한 짐작을 해볼 수 있다. 10진법 늘여쓰기법이 유리수를 표현하는 하나의 방법일 뿐 아니라, a 또는 b 의 구성이라는 수론적 문제와 매우 긴밀하게 연관되어 있다는 사실이다. ! 앞의 증명을 보면 그 중에서도 특히 분모 b 의 역할이 결정적이었다. 앞으로도 이런 양상은 계속 될까? 다음 경우로 넘어가 보자.

점 다음에 바로 순환 마디가 나타나는 경우

이 경우는 우리의 약속 a > b , (a,b) = 1 에 하나가 추가된다. 바로 (10,b)=1 의 경우다. 다시 말해, 분모의 factor 들에 2 도 5 도 참여하지 않는다. 이럴 경우 다음의 사실을 확인할 수 있다.

분모가 2 로도 그리고 5 로도 나눌 수 없는 유리수는 점 바로 다음부터 순환 마디가 시작되어 끝없이 계속된다.

그리고 그 역도 성립한다.

점 바로 다음부터 순환 마디가 시작되어 끝없이 계속되면 분모가 2 로도 그리고 5 로도 나뉠 수 없는 유리수다.

왜 그럴까? 의심할 바 없이 그렇게 된다. 먼저 첫번째 문장부터 증명해보자.

\Rightarrow

분모 b 에 2 도 5 도 참여하지 않기 때문에 가능한 수는 2 또는 5 로 나뉘지 않는 경우다. 다시 말해, 분모 b 는 3, 7, 9 , 11, 13, ... 들의 곱으로 이루어진 수다. 이럴 때, 점 바로 다음에서 순환 마디가 시작된다는 것을 보이기 위해서는 어떻게 해야할까? 이를 위해 조금만 분석을 해보면 문제는 다른 형태로 바뀌고 증명이 간단해진다. 순환마디의 길이가 k 라 하자. 그 말은

a=bd_{1}+r_{1}

이고 나머지는 나누는 수 b 보다 작을 것이다. 그럴 때, $(b,r_{1})=1$ 라는 것은 자명하다. 그렇지 않다면 (a,b) = 1 이라는 가정이 깨져버리기 때문이다. 그리고 a 를 b 로 나누고 그 나머지를 또 b 로 나누고, 또 그 나머지를 나누어 가는 갈 때, 몫이 되는 부분에 나타나는 것을 찾는 것이 10진법 늘여쓰기라는 절차를 곰곰히 생각해보자. 오른쪽 그림에 ${\frac {1}{7}}$ 을 예로 들었다.

파일:Division1-7.svg

순환마디의 길이가 k 라고 해보자. 그렇다면 순환마디가 점 바로 다음에 시작하다는 말을 다시 쓰면,

r_{1}=r_{k},\ r_{2}=r_{k+2},\dots ,r_{k}=r_{2k},\ r_{k+1}=r_{2k+1},\dots

이다. 그 말은

r_{m}=r_{n}

일 때,

r_{m-1}=r_{n-1}

이라는 사실을 보이는 것으로 증명이 끝난다는 것을 뜻한다. 간단히 말해, 우리가 증명하려고 하는 사실 대신

(10,b)=1

이면

r_{m}=r_{n}

일 때,

r_{m-1}=r_{n-1}

로 대체된다. 말대신 기호로 쓰니 더 분명해졌다. 정말 그럴까? 진짜 그렇다. 왜냐? 나눗셈의 알고리듬에 따라,

10r_{m-1}=bd_{m-1}+r_{m}

,

10r_{n-1}=bd_{n-1}+r_{n}

이고 식을 연산하면서 $r_{m}=r_{n}$ 라는 사실을 염두에 두면,

10(r_{m-1}-r_{n-1})=b(d_{m-1}-d_{n-1}){m}

다. 이때 $(10,b)=1$ 라는 것이 전제이므로,산술의 기본정리 에 따라, b 는 $(r_{m-1}-r_{n-1})$ 를 나눌 수 밖에 없다. 그런데 b 로 나눈 어떤 나머지들도 모두 b 보다 작기 때문에 앞의 문장이 성립하는 유일한 경우는 $(r_{m-1}-r_{n-1})$ 가 0 인 경우다. 따라서 $r_{m-1}=r_{n-1}$ 다.

\Leftarrow

이번엔 그 역을 의심할 바 없이 분명히 밝힐 차례다.

점 바로 다음에서 순환 마디가 시작하면 그 분자는 (10,b) = 1 라는 것을 보이면 된다. 이 때도 순환 마디의 길이를 k 라고 하자. 앞의 1에서 7 을 나누는 과정을 보인 그림을 보면 이해가 쉬울 것이다. 점 바로 다음에서 순환마디가 시작하면,

a10^{k}=bQ+a

라는 말이다. (몫 Q 는 점아래로 0 부터 9까지의 숫자가 k 만큼 늘어서 있을 것이다.) 따라서

a(10^{k}-1)=bQ

이고,

{\frac {a}{b}}={\frac {Q}{10^{k}-1}}

다. 분모는 $999\cdots 999$ 꼴의 수 이므로, 결코 2 도 5 도 factor 가 될 수 없다. 따라서 (10.b) =1 이다.

여기서도 앞의 순환마디 없는 경우와 마찬가지로, 수론적인 문장과 10진법 늘여쓰기 문장이 등가이고, 분모 b 만 영향을 준다.

그렇다면 과연 분모만 보고, 순환마디의 길이를 미리 결정할 수 있을까?

이에 대해서는 아래 '다른 성질' 부분을 참고하기 바란다. 이제 마지막 경우 하나가 남았다. 가능한 세 경우 중 두 경우에 대해 필요충분조건을 보았으므로, 이것은 하나마다하다.

순환마디가 없다가 나타나는 경우

앞의 두 경우로부터 자연스럽게 우리는 그 결과로 아래를 유추할 수 있다.

분모가 2 또는 5로 나뉠 수 있고, 다른 소수로도 나뉠 수 있는 유리수는 순환 마디가 있지만, 점 바로 다음부터 순환마디가 시작하지는 않는다.

그 역이 성립한다는 것을 보이는 것도 어려운 일이 아니다.

그렇다면 과연 순환마디 없는 구간의 숫자는 몇 개나 될지 미리 결정할 수는 없을까?

그리고 순환마디가 없는 10진법 늘여쓰기의 경우 저~ 앞의 예,

3.2=3.1+0.1=3.1999\cdots ,\quad 0.456=0.455+0.001=0.455999\cdots

처럼 항상 9가 순환하는 것으로 쓸 수 있기 때문에 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

10진법 늘여 쓰기로 표현할 때, 순환마디가 있는 수는 유리수고, 유리수면 순환마디가 있다.

따라서 순환마디가 없이 끝없이 가는 수는 분명히 '어떤 수'인데 유리수는 아니다. 유리수 아닌 수가 존재한다. 이런 수를 '무리수'라 부른다. 이 결과는 순환소수 에서도 살핀 것이다.

다른 성질들

앞에서 우리는 10진법 늘여쓰기로 0보다 크고 1 보다 작은 유리수를 나타낼 때, 순환마디의 성질과 수론의 성질이 손바닥의 앞뒤처럼 서로 맞닿아 있다는 것을 알았다. 이제 순환마디에 대한 더 정확한 성질을 뽑아 볼 텐데, 이것을 더 깊이 느끼게 될 것이다.

순환마디가 점 바로 다음에 시작하는 경우

순환마디가 점 바로 시작하는 경우는 '순수한 10진법 늘여쓰기' 라고 말 할 수 있다. 다른 두 경우는 점바로 다음에 순환마디가 시작하지 않는 경우다. 이렇게 순수한 것에 2나 5를 곱하면서 나머지 경우를 얻을 수 있다. (물론 2나 5만으로도 얻을 수 있다.) 이 경우 흥미로운 사실들을 발견할 수 있고, 수론적으로도 흥미로운 사실들들을 품고 있다.

몇가지 사실들을 살펴 본다. 가장 먼저 주목할 것은 이미 앞의 여러 증명의 결과로 짐작하였던 바다. 다름아니라,

순환마디의 길이를 결정하는 데 분자 a 는 전혀 영향을 주지 않는다

왜 그럴까? 10진법 늘여쓰기를 하는 알고리듬을 잘 들여다보면, a 를 b 로 나누어 갈 때 오로지 나머지들이 그 결과를 결정한다. 그리고, 어떤 자연수 a , b 에 대해, a > b 일 때, 십진법 늘여쓰기 방법으로 나타내는 정의와 알고리듬에 따르면, $a:b$ 절차를 해나가면서, 계속 끝이 나지 않을 경우, 나머지 $r_{1},r_{2},r_{3},\dots$ 들이 계속 등장하게 된다. 그런데 이 나머지들은 모두 b 보다 작고 b 와 '서로 소'다. 따라서 기껏해야 b-1 번 나누기 절차를 해가면 반드시 $r_{1}$ 과 같은 나머지가 나올 수 밖에 없다. 그렇다면 나눗셈 과정은 끝없이 반복되며 계속된다. 나뉘어지는 수 a 는 순환 마디의 길이를 결정하는데 전혀 영향을 줄 수 없다. 다만 순환마디의 십진법 수들의 순서가 바뀔 뿐이다. 여기서 자연스럽게 정리가 따라온다. 순환마디의 길이를 $\lambda (b)$ 라 하고, b 보다 작은 서로 소의 수를 $\varphi (b)$ 라고 쓰기로 하자.

$(10,b)=1$ 이면, $\lambda (b)\leq \varphi (b)$ 다.

잘되었다. 우리는 이제 순환마디가 아주 질서 없는 게 아니라 어떤 조건 안에서 움직이는 그 무엇이라는 짐작을 해볼 수 있다. 그런데 앞에서 b 가 소수일때는 어떻게 될까? $\varphi (b)=b-1$ 이기 때문에 순환마디의 길이 $\lambda (b)\leq b-1$ 일 수 밖에 없다. 물론 항상 등호인 것은 아니다. 예를 몇 개 들여다보면 바로 알 수 있다.

\lambda (7)=7-1,\ \lambda (11)=2,\ \lambda (13)=6,\ \lambda (17)=17-1,\ \lambda (19)=19-1,\ \lambda (21)=6,\ \lambda (33)=2,\ \lambda (39)=6,\ \lambda (41)=5

그렇다면 어떤 b 는 순환마디 길이의 문턱까지 가 있고, 어떤 것은 한참 못미친다. 어떤 것은 그렇고 어떤 것은 그렇지 않을까? 또 한참 못미치는 순환마디의 길이에는 어떤 질서가 없을까? 앞의 예에서 순환 마디에 못미치는 것들만 뽑아 들여다 보자.

\lambda (11)=2,\quad 2\cdot 5=11-1=\varphi (11),

\lambda (13)=6,\quad 6\cdot 2=13-1=\varphi (13),

\lambda (21)=6,\quad 6\cdot 2=12=\varphi (21),

\lambda (33)=2,\quad 2\cdot 10=20=\varphi (33),

\lambda (39)=6,\quad 6\cdot 4=24=\varphi (39),

\lambda (41)=5,\quad 5\cdot 8=41-1=\varphi (41).

모두 가지는 분명한 공통점이 있다. 바로, 순환마디의 길이 $\lambda (b)$ 는 그 수보다 작은 서로 소의 갯수 $\varphi (b)$ 의 약수로 되어 있다는 것이다. 과연 항상 그럴까? 이것에 답을 하면 우리는 b 만 알 때, 순환마디의 길이를 결정할 조금 더 나은 사실을 파악한 셈이다. 실제로 그렇다.

$(10,b)=1$ 이면, $\lambda (b)=k\varphi (b)$ 인 자연수 k 가 있다.

부등식에서 등식으로 훨씬 말쑥해졌다.

이제 정말 그런지 보기로 하자. 분모가 소수로 된 예였던 1/7과 소수가 아닌 1/39를 예로 들어보겠다. 옆의 그림을 봐 주시라.

파일:Division1-7-wheel.svg

먼저 1/7을 보자. 옆의 그림은 두 원의 층으로 된 수레바퀴를 떠올리게 한다. 안쪽에는 나머지의 순환을, 바깥쪽에는 몫의 순환을 표시했다. 분자 a 가 1 이 아니라 $2,3,\dots ,b-1$ 까지 변하더라도 이 바퀴는 변할 수 없다는 것은 분명하다. 순서만 바뀔 뿐 안쪽이건 바깥쪽이건 바퀴의 그 순환할 뿐 바퀴의 살과 만나는 부분의 수가 변할 수는 없다. 게다가 1/7의 경우는 7 보다 작은 서로 소들이 모두 이미 등장했다.

그런데 1/39는 사정이 다르다. 먼저 1/39 과 2/39 일 때 다르다. 그럴수 밖에 없는 것이, 39보다 작은 서로 소의 개수는 24개인데 1/39일 때 등장한 나머지의 갯수는, 또는 $\lambda (39)$ 는 고작 6이기 때문이다. 아직 나올 나머지들이 있다. 아래 그림을 보면 충분히 직관적으로 이해가 될 것이다.

파일:Division1-39-wheel.svg

더 정확히 말하면 수레 바퀴 안의 나머지들을 분류해서 써보면

{\frac {1}{39}}

일 때,

{\ 1,\ 10,\ 22,\ 25,\ 16,\ 4\ }

이다. 39와 서로 소인 수 중 1 다음 수인 2 가 아직 안나왔다.

{\frac {2}{39}}

일 때,

{\ 2,\ 20,\ 5,\ 11,\ 32,\ 8\ }

이다. 모두 앞의

{\frac {1}{39}}

일 때에 대응해서 두 배거나 두 배에서 39를 뺀 수다. 39와 서로 소인 수 중 2 다음 수인 7 이 아직 안나왔다.

{\frac {7}{39}}

일 때,

{\ 7,\ 31,\ 37,\ 19,\ 34,\ 28\ }

이다. 모두 앞의

{\frac {1}{39}}

일 때에 대응해서 일곱 거나 일곱 배에서 39를 뺀 수다. 39와 서로 소인 수 중 7 다음 수인 14 가 아직 안나왔다.

{\frac {14}{39}}

일 때,

{\ 14,\ 23,\ 35,\ 38,\ 29,\ 17\ }

이다. 모두 앞의

{\frac {1}{39}}

일 때에 대응해서 열 네 배 거나 거기서 39를 뺀 수다. 서로 서의 갯수가 24개이니 모두 다 되었다.

이때 중요한 점은 앞에서 분류된 네 집합들, 다시 말해, 네개의 수레바퀴에 바퀴살을 이룬 수는 어떤 경우도 교차할 수 없다는 점이다. 한번 시작된 순환마디는 그저 그 안에서만 돌 뿐 결코 다른 수를 담을 수 없다. 그런데 수레바퀴의 갯수는 자연수일 수밖에 없고 서로 소의 갯수 $\varphi (b)$ 가 도달할수 있는 최대의 갯수 이므로, 순환마디의 길이는 $\varphi (b)$ 를 나눌 수 밖에 없다. 형식적으로 명확히 증명한 것은 아니지만, 충분히 납득되었을 것으로 본다.

순환마디를 두 쪽으로 쪼갤 때

앞에서 보았던 몇가지 예를 다시 들여다보자.

{\frac {1}{7}}=0.{\color {blue}142}{\color {red}587},\quad {\frac {2}{7}}=0.{\color {blue}285}{\color {red}714},\quad {\frac {6}{7}}=0.{\color {blue}857}{\color {red}142}

{\frac {1}{17}}=0.{\color {blue}05882352}{\color {red}94117647}

{\frac {1}{19}}=0.{\color {blue}052631578}{\color {red}947368421}

{\frac {1}{23}}=0.{\color {blue}04347826086}{\color {red}95652173913}

앞의 예들에서 보다시피, 순환마디의 '앞부분'과 '뒷부분' 더하면 모두 $9999\cdots 999$ 꼴을 갖는다. 예를들어,

142+857=999,\quad 05882352+94117647=999999,\quad 052631578+947368421=999999999

.

이것은 우연일까, 필연일까? 위에서 한 말을 정리해서 써 보면,

분모가 2도 5도 아닌 소수로만 되어 있고, 순환마디가 짝수개면 앞의 반과 뒤의 반의 합은 언제나 $9999\cdots 999$ 의 형태다.

가 항상 참일까? 아닐까? 이다. 놀랍게도, 또는 당연하게도, 이것은 항상 참이다. 왜 그럴까?

앞에서, 순환마디가 점 바로 다음에 시작하고 순환마디의 길이가 k 인 경우는 ,

a(10^{k}-1)=bQ

가 된다는 것은 본대로다. 그리고 이 길이 k 가 짝수니 2n 이라고 쓰기로 하자. 그렇다면

a(10^{n}-1)(10^{n}+1)=bQ

가 된다. 그런데 처음 약속한대로 (a,b)= 1 이므로, 분모 b 는 $10^{n}-1$ 나 $10^{n}+1$ 를 나눌 것이다. 그 중 $10^{n}-1$ 은 나눌 수 없다. (왜 그럴까?, 순환마디가 점 바로 다음에 시작하는 경우라는 것과 순환마디의 개수에 대한 성질을 유념하라.)

분모 b 는 $10^{n}+1$ 를 나눌 수 밖에 없다. 따라서,

{\frac {a(10^{n}+1)}{b}}={\frac {Q}{10^{n}-1}}

와 등식에서 왼쪽 항은 정수일 수밖에 없다. 이제 오른쪽 항을 조금 주물러서 모양을 바꿔 보자. Q 는 두쪽으로 쪼개질 테니, 앞쪽을 t , 뒤쪽을 s 라 하면,

Q=t10^{n}+s=t10^{n}-t+t+s=t(10^{n}-1)+(t+s)

로 쓸 수 있다. 여기서 주의! Q 의 자리수는 기껏해야 2n 이다. t 도 s 도 모두 $10^{n}$ 보다 작아야 한다. 다시 말해,

t\leq 10^{n}-1,\quad s\leq 10^{n}-1

이고 따라서

t+s\leq 2(10^{n}-1)

이다. 게다가 t, s 가 동시에 $10^{n}-1$ 일 수도 없다. (그렇게 되면 어떻게 될까?) 따라서 앞의 부등식을 정확히 하면,

0<{\frac {t+s}{10^{n}-1}}\ <\ 2

거의 다 왔다. ${\frac {a(10^{n}+1)}{b}}=t+{\frac {t+s}{10^{n}-1}}$ 이고 왼쪽은 정수일 수 밖에 없으니,

{\frac {t+s}{10^{n}-1}}

도 정수다. 동시에 앞의 정확히 나타낸 부등식을 만족하려면 $t+s=10^{n}-1$ 일 수 밖에 없다. 결국 $999\cdots 999$ 꼴 일 수 밖에 없다.

또, 사소한 것이지만, 하나만 더 언급하기로 하자.

{\frac {1}{7}}\times 7=1=0.999999

이기 때문에,

0.142587\times 7=0.999999

이다.

'페르마 소정리' 와의 관계

순환마디의 성질과 수론의 성질들이 아주 밀접하게 연관되어 있다는 것은 지금까지의 결과만으로도 충분히 느낄 수 있었다. 여기에 하나 더 추가한다. 그것은 수론의 지평을 연 것으로 평가받는 페르마 소정리 와 관련한 내용이다. 먼저 지금까지의 결과 만으로 페르마 소정리를 유도하고, 다음은 페르마 소정리에서 우리의 결과를 유도해 본다.

먼저 우리는 대수의 법칙에서 다음의 사실이 참이라는 것을 알고 있다고 하자.

(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots +x+1)(x-1)=x^{n}-1

즉, $x^{n}-1$ 은 $x-1$ 로 나뉜다. 이 성질과 우리가 앞에서 유도한 결과의 도움을 받아 페르마 소정리를 유도할 수 있다.

우선 $(b,10)=1$ 라고 가정하자. 그리고 앞의 등식에서 x 가 $10^{\lambda (b)}$ 인 경우를 보자. 그렇다면 우리가 앞에서 얻은 결과에 따라, $\varphi (b)=k\cdot \lambda (b)$ 인 k 가 있을 것이다. 앞의 등식에 따라,

10^{\varphi (b)}-1=10^{k\lambda (b)}-1=(10^{\lambda (b)}-1)Q

다. 다시 말해 $10^{\lambda (b)}-1$ 은 $10^{\varphi (b)}-1$ 을 나눈다. 그리고 앞에서 b 는 항상 $10^{\lambda (b)}-1$ 을 나눈다. 결국 b 는 $10^{\varphi (b)}-1$ 을 나눈다. 이때, b 가 2 도 5도 아닌 소수라면,