Riemann Hypotheis

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리만 가설 오일러가 수열의 합 개념을 이용하여 소수의 무한성을 증명할 때 다음과 같은 수열의 합

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots

은 어떤 자연수보다 크다는 사실을 이용하였다. 그 후 가우스에 의하여 '우연히 발견된' 소수의 분포에 대한 성질이 있었는데, 이를 보통 소수 정리(prime number theorem)이라 부르고 수학적 문장으로 하면

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}

이다. 이는 가우스에 의하여 발견되었지만, 당시로서는 증명이 되지 않았다. 이를 증명하려던 리만은 어떤 새로운 사실에 주목하여 가설을 세웠다. 리만의 가설은 150여년 이 지난 지금도 풀리지 않은 문제로 남아 있다.

정의

정의 : 복소수 z에 대하여 함수 :

\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}

\zeta (z)=1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{z}}}+\cdots

를 리만의 제타(zeta)함수라 한다.

$z=x+y\cdot i$ 라 하고 $y\neq 0$ 인 모든 y에 대하여

\zeta (z)=\ 0

이기 위해서 x = 1/2 다.