With Infinity Nat Number

무한과 사귀기 로

무한, 자연수와 무한의 비교

무한으로 들어가기

교실에 있는 학생 수, 한 학교의 학생 수, 대한 민국의 모든 학교의 학생 수는 몇명이나 될까? 지구 상에 존재하는 모든 학교의 학생수는? 우주 전체의 별의 수, 우주의 먼지, 모든 먼지 안의 분자와 원자의 수는?

어떤 무리는 우리가 쉽게 세어 볼 수 있고 어떤 것은 세어 볼 수는 있지만 평생을 걸려도 다 세지 못하는 것들이 있다. 어떤 사람이 해운대 바다가에 와서 모래알을 하나둘 센다고 해보자. 과연 그가 죽을 때까지 다 셀 수 있을까? 어떤 것은 아예 정확히 셀 수 없는 것들도 있다. 우주의 먼지를 셀 수 있는 방법이 있을까? 그래서 사람들은 아주 아주 많은 것을 말할 때,

셀 수 없이 많다.

고 한다. 보통 살아가면서 이런 용어는 들어보았을 것이다. 이것과 비슷한 말로 '끝없이 많다'라는 말도 쓰곤 한다. 그런데 과연 끝없이 많다는 것은 무엇일까? 앞에서 든 예 중에서 끝없이 많은 것은 무엇일까?

수학을 보통 어려운 과목이라고 여기는 사람들이 많다. 여기에는 여러가지 이유가 있다. 무엇보다 낯선 기호를 쓴다. 그리고 생활하는데 아무런 필요가 없는 복잡한 식으로 만들어내고 너무 많은 공식이 있다. 어떤 문제를 푸는데 규칙은 또 얼마나 엄격한가. 게다가 수나, 식, 도형처럼 실제로는 눈에 보이지 않는 것들을 마치 있는 것처럼 더하고 빼고 옮기고 늘인다. 듣도 보도 못한 단어들이 '끝도 없이' 나온다. 소수, 방정식, 이동, 함수,...무한. 그래서 수학이라는 나라에 가서 쓸 수 있는 언어는 다른 외국어보다 훨씬 어렵다고 생각할 수 밖에 없다.

오늘 우리의 대화도 그런 낯선 말들이 나오기는 할 것이다. 그 중에서도 '무한'이라는 이상한 말을 자주하게 될 것이다. 우리가 짐작했던 것과다른 무척 이상한 성질도 만나게 된다.

Q. 세상에 무한한 것은 어떤 것이 있을까 ?

그렇다. 무한하다고 여길 수 있는 것은 많다. 그런데 과연 무한이라는 것이 무엇일까? 고대 그리스에서는 이 무한이라는 말이 사람들을 무척 괴롭히는 용어였다. 그 중 가장 유명한 것이 있다. 바로 '제논의 역설 ' 이다. 벌써 '역설'이라는 이상한 말이 등장했다. 무엇이냐 하면, S 이면 S 가 아니다라는 사실이 나오게 되는 사실을 일컬어 사람들은 역설(Paradox) 라고 부른다. 더 폭넓게 말할 때는 S 라고 논리적으로 생각하는데 현실은 그렇지 않은 경우까지를 말하기도 한다. 이 역설에 대하여 들어보았을지 모르겠다.

제논의 역설  : 거북이가 이기는 달리기 경주, 결코 한발짝도 뗄 수 없는 걸음. 날다가 날지 않는 화살.

이 문제는 그로부터 수천년이 지난 지금까지 이에 대해 생각하는 여러 사람들을 괴롭히고 있다. 나름대로 해결하는 방안들을 내 놓지만, 그에 대한 반론도 항상 있어서 무엇이 옳다 그르다 딱부러지게 말할 수 없다. 그럴 정도이니 그래서 무한이라는 말을 쓰지 않았다. 그래서 그때 사람들은 한발 물러섰다. '끝없이 많다' 대신 '어떤 것보다 더 큰 무엇이 항상 있다'라고 말하였던 것이다.

자연수

자, 어떤 사물을 세어서 무엇이 더 많거나 적은지, 또는 같은지 보기 위해 아주 옛날로 돌아가보자. 손가락을 하나씩 구부리면서 세어가는 것이다. 우리가 가리키는 사물은 사과일 수 있다. 사과 상자에서 사과를 빼면서 사과가 몇개나 들었는지 세어보는 것이다. 양계장을 하는 사람은 매일 달걀을 셀 것이다. 가게에서 물건을 살 때도 물건의 개수를 세고 지폐나 동전을 센다.

무엇을 가리키는지는 상관없이 '그것' 하나에 우리는 손가락 하나를 '대응'시킨다.

Q. 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, ... 손가락은 열이니, 열 다음은 어떻게 할까?

이렇게 무엇을 센 것을 다른 사람에게 전달할 때 어떻게 해야할까? 굽혀진 손가락을 그대로 들고 갈 수는 없는 노릇이다. 시대와 민족마다 줄을 이용하거나, 돌, 뼈조각 등 다른 방법들이 많이 나왔다. 지금의 컴퓨터도 저나름의 세는 방식이 있다. 이에 대해서 자세히 알려면 며칠이 걸려도 부족하다. 우리에게 익숙한 십진법으로 세어가겠다. 기호도 우리에게 익숙한 아라비아 숫자를 쓴다. 여기 써진 하나의 수에 우리의 손가락 형태가 하나씩 대응해 있을 것이다.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

이미 알다시피 자연수라고 부른다. 자연수를 이런 식으로 써가면 끝이 날까? 물론 끝이 나지 않는다. 내가 아무리 큰 자연수를 댄다해도 당신은 그 수보다 더 큰 자연수를 댈 수 있다. 그래서 자연수는 끝이 없다고 말할 수 있다.

Q. 자연수 말고 이렇게 끝없이 많은 것은 또 무엇이 있을까?

자연수 보다 적어보이는, 그런데도 끝없이 많은

자연수보다 더 많은 정수, 유리수 같은 건 물론이다. 그렇다면 자연수 안에 특수한 성질을 갖는 것 중에서 이렇게 끝없이 많은 것들이 또 있을까? 이런 수의 열은 어떤가?

2, 4, 6, 8, 10, 12 , 14, 16, ...

이른바 짝수다. 자연수가 무한이라면 이수들도 무한이라는 것은 의심할 여지가 없다. 왜냐하면, 자연수가 k 일 때, 이 수들은 2k 이기 때문이다. 내가 생각할 수 있는 가장 큰 짝수 2k 를 생각해서 말한다고 하면, 당신은 바로 그 자리에서 생각할 필요도 없이 그보다 더 큰 짝수 2(k+1) 을 말할 수 있을테니까. 자연수 중 짝수가 아닌수, 다시 말해 2로 나누어 나머지가 1인 수들인, 홀수도 마찬가지다. 다른 건 또 뭐가 있을까?

자연수의 끝없는 열을 2로 나누면 나머지가 0 이거나 1이거나 하는 경우에 대해서 보았듯이 예를들어 3으로 나누어 보는 경우도 가능하다.

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 .... 이 한 묶음,

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25.... 가 한 묶음,

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ... 묶음

이 나머지 자연수를 다 채울 것이다. 내가 3k 를 대면, 여전히 당신은 3(k+1) 을 말할 수 있다. 마찬가지로 4, 5, 6, 7, ... 에 대해서도 계속 해볼 수 있다. 4만 다시 써보자.

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, .... 이 한 묶음,

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, .... 가 한 묶음,

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, ... 가 한 묶음,

7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 , ... 묶음

으로 자연수들이 헤쳐모여 할 수 있다. 어쨌든, 지금 중요한 것은, 내가 아무리 n(k) 를 자신있게 말한다고 해도, 당신은 n(k+1) 을 말해서 나의 기를 죽여놓을 수 있다는 사실이다.

이제 자연수들을 다시 헤쳐모여보기로 한다. 이 묶음은 조금 특별하니 눈을 똑바로 떠야 한다.

2, 4, 6, 8, 10, 12 , 14, 16, ..., 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 .... , 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...

첫번째 줄의 수들만 다시 묶어본 것이다. 이 묶음들의 대표선수라 할만한 수들은 2, 3, 4, 5, 6, ... 들로 물론 자연수들이다. 이 중 4 나 6은 이미 앞에서 대표선수가 아니라 보조선수로 이미 출전한 수들이다. 그래서 '순수한' 대표 선수만 뽑아보면 이렇게 될 것이다.

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

그런가? 앞의 열은 제대로 써진 것인가? 그렇지 않다. 9나 15는 이미 3이 대표하는 팀에 들어가 있었다. 주의를 기울여야 한다. 이제 진짜 옳게 써보면

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

와 같은 순수한 대표선수 들만 남게 된다.이런 특별한 자연수들을 '소수'(Prime number)라고 부르기로 한다.

Q. 1 은 소수일까 아닐까?

자연수에서 우리가 뽑아낸 이 소수들은 특별한 성격을 가지고 있다. 바로,

1과 그 자신이 아니면 어떤 수로도 나뉘지 않는다.

는 성질이다. 어떤 자연수도 1과 그 자신으로는 나뉘니, 한마디로 '순수한 수' 라는 말이 가히 틀리지는 않아 보인다. 게다가 이 수는 자연수에서 매우 특별한 역할을 한다.

(자연수 세계의 기본법칙; fundamental theorem of arithmetic) 1이 아닌 어떤 자연수도 소수들의 곱으로 나타낼 수 있고 그 방법은 유일하다.

이것도 끝없이 많을까? 아닐까? 아니라면 유한개의 대표선수들의 곱으로 무한개의 자연수를 표현할 수 있다는 말이된다. 물론 그런다고 해도 이것은 아무런 잘못이 없다. 내게 단지 두 개의 수만 주어도 곱하면서 무한개의 수는 만들어낼 수 있으니까. 다만 그것이 '모든 자연수'를 만들지는 못할 것이다. 3 개가 있다면 '더 많은 자연수'를 나타낼 수 있겠지만, 그렇다고 아직 모든 자연수는 나타낼 수 없다. 덧셈이 있다면 문제는 다르다. 나에게 1과 덧셈만 있다면 당연히 모든 자연수를 나타낼 수 있다. 하지만, 곱셈은 그렇지 않다.

소수가 유한개에서 끝나는지 아닌지를 보이기 위해서 어떤 방법을 써야할까? 당연히 자연수나 2k, 3k, ... 의 무리들 처럼

아무리 큰 소수가 있어서도 그것보다 더 큰 소수가 있다.

는 사실을 말하면 된다. 이를 위해서는 다음 사실을 주목하면 충분하다.

$2+1$ 은 2 로 나뉘지 않는다.

$2\cdot 3+1$ 은 2 와 3 으로 나뉘지 않는다.

$2\cdot 3\cdot 5+1$ 은 2 , 3 과 5 로 나뉘지 않는다.

이런 과정이 계속된다치자. 이번엔 게임의 순서를 바꾸어 당신이 먼저 가장 큰 소수를 내보라.그것을 p 라 치자. 그럼 나는 이렇게 할 것이다.

$2\cdot 3\cdot 5\cdots p+1$

그렇다, 이 수는 바로 당신이 말한 p 까지 모든 소수들을 다 참가시킨 것이다. 이 수는 2 로도, 3으로도, 5 로도, 그리고 어떤 소수도, 가장 큰 p도 나눌 수 없는 수다. 그래서 이 수를 나눌 수 있는 수는 없다.

소수도 끝없이 많다.

자연수 보다 적어보이는 소수, 소수 보다도 적어보이는, 그런데도 끝없이 많은

우리의 대표선수도 다시 여러 묶음으로 헤쳐모여 할 수 있다. 자연수를 헤쳐모여했던 것을 다시 보자.

2, 4, 6, 8, 10, 12 , 14, 16, ...

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...

2를 기준으로 묶어 본 것이다. 자연수를 두 묶음으로 분류하면 한쪽에는 소수 하나밖에 없다. 2가 바로 그것이다. 다른 쪽 묶음에는 끝없이 많을 것이다. 이제, 3으로 묶으면,

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 .... 이 한 묶음,

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25.... 가 한 묶음,

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ... 묶음

마찬가지로 첫번째 묶음에서는 3 하나밖에 없다. 나머지는 3으로 나뉘니까 모두 소수가 아니다. 두번째 묶음이나 세번째 묶음에서는 어떻게 될까? 4 묶었을 때도 마찬가지.

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, .... 이 한 묶음,

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, .... 가 한 묶음,

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, ... 가 한 묶음,

7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 , ... 묶음

인데, 첫번째 묶음에서는 아예, 소수가 없다. 세번째 묶음에서도 없다. 4k+2 꼴이니 모두 짝수고 2로 나뉠테니까. 그렇다면 두번째 묶음과 네번째 묶음에서는 ?

Q : ak + b 꼴의 수들 안에 있는 소수는 어떻게 될까? 끝없이 많을까?

어떤 소수와 그 다음 소수의 간격도 끝없이 넓을 수 있다.

다시 우리의 순수한 대표선수들 얼굴을 하나하나 볼까? 200 보다 작은 소수들이다.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 ,127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ...

이 수들을 가만히 들여다보자.

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 6, 2, ...

어떤 점이 발견되나? 궁금한게 한두가지가 아니겠다. 두 개만 보자.

• 소수와 소수 사이의 구간은 넓게 보면, 2, 4, 6, 8, 10 ,... 과 같이 점점 넓어져간다. 그렇다면 어떤 소수와 그 다음 소수 사이에 있는 수들은 끝없이 많을 수 있을까?
• 소수와 그 다음 소수 간격이 넓어지면서도 특별한 게 하나 있다. 바로 차이가 2인 소수가 계속 등장한다는 점이다. 이런 소수, 그러니까, 3과 5 , 11과 13, 17과 19, ... , 197과 199 와 같이 2 차이밖에 안나게 찰싹 붙어있는 소수들의 쌍을 '쌍둥이 소수'라고 부른다. 이런 쌍은 끝없이 나올까? 다시 말해, 소수들의 차이들만 늘어놓은 아래의 수의 열에는 항상 2가 끝없이 여러번 나올까? 아닐까?

첫번째 문제를 함께 보도록 하자. 소수의 처음 부분을 보면 촘촘하다. 1, 2,2, 4, 2, 4, 2 ,... 이런 식으로 나간다. 그러다가 점점 띄엄띄엄 나타나는 구간이 생긴다. 6도 있고, 8도 나타났고, 10도 벌써 나타났다. 소수와 소수 사이가 2가 아니고 (다시 말해 쌍둥이 소수가 아닌) 최초로 두 소수의 차이가 4인 지점은 어디였나? 그것부터 보기로 하자. 7과 11 사이다.

7 다음에는 8, 9, 10 이 있다. 다시 말해

$2\cdot 3+2,\ 2\cdot 3+3,\ 2\cdot 3+4$.

다. 그러다가 $2\cdot 3+5$ 를 할 때 드디어 소수가 나온다. 이 수는 1과 그 자신이 아니면 나뉠 수 없다. 2로 나눠지겠는가? 아니다. 그래서 2의 배수로 안나뉜다. 3과 3의 배수로도 안나뉘고, 5 로도 마찬가지다.

Q. 이 수들은 7로도 나뉠 수 없다. 왜 그럴까?

소수아닌 수들이 셋 있는 경우는 보았다. 그 보다 넓은 구간을 보이는 것도 마찬가지 방법이다.

$2\cdot 3\cdot 5+2,\ 2\cdot 3\cdot 5+3,\ 2\cdot 3\cdot 5+3,\ \dots ,2\cdot 3\cdot 5+6$

까지는 소수 아닌 수들이다. 그러다가 $2\cdot 3\cdot 5+7$ 일 때 소수다.

$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7+2,\ 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7+2,\ 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7+2,\dots ,2\cdot 3\cdot 5\cdot 7+10$

도 소수들이 아니고, 그러다가 $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7+11$ 은 소수가 된다. 이런 식으로 하면 그와 같이 소수 아닌 수들의 구간을 마음대로 넓힐 수 있다.

Q . 어떻게 잡으면 될까? 10 개의 소수 아닌 수 구간, 백 개, 천 개, 만 개의 소수 아닌 자연수가 연속해서 나오고 이어서 소수가 나오도록 할 수 있는 방법을 말해보라.

그렇다면 두번째 문제는 ? 나도 모른다. 아마도 지금까지 지구상에 아는 사람이 없는 것 같다. 수천년이 지난 지금까지도 풀리지 않는 문제 중 하나다.

자연수보다 더 많은 것들

자연수보다 적은 것은 그렇다쳐도 많은 것은 어떨까? 자연수보다 많으니 보나마나 끝없이 많을 것이다. 정수는 자연수보다 많아 보인다. 유리수도 말할 필요 없다. 정수가 자연수보다 더 적을 수는 없다. 왜냐하면 자연수에 없는 수들, -1, -2, -3 , -4 , ... 같은 수들이 있으니까. 그런데 정말로 '더 많다'고 할 수 있을까? 자연수도 정수도 모두 끝없이 많으니 세어서 비교할 수는 없는 노릇이다. 이상한 일이 일어난다. 이 이상한 사건을 수에서 직접 따져보기 전에 우리의 시선을 (세계가 아니라) 우주로 넓혀보자. 그것도 실제 우주보다 '더 넓은' 상상 속의 우주로.

무한 우주 안에 무한 개의 방이 있는 숙소

자 수학의 세계에서 잠시 물러서서 상상의 세계 속으로 들어가보자. ('무한'이라는 개념 자체가 '상상'과 뗄 수 없다.) 이 상상의 예를 통해 보면 무한의 세계가 유한세계와 아주 다르다는 느낌을 가지게 될 것이다. '무한'을 이야기할 때 흔히 드는 예다. ‘무한개의 별이 있는 우주를, 그리고 별마다 여관이 하나씩 있는데 그 여관들은 방이 무한개 있다고 상상해보라. 모든 별은 1, 2, 3, ... 과 같이 번호로 부르고 여관의 방에는 1, 2, 3, ... 과 같이 번호가 붙어 있다.

제1회 전우주 수학대표자회의

(9(9(9)))번 별에서 올해 처음으로 전우주 수학대표자 학술대회를 열기로 결정했다. 이 대회에는 모든 별에서 한명씩 수학자들을 보낼 것이다. 여관 지배인은 걱정을 하지 않아도 된다. 방이 무한개 있으니 1번 별 대표는 1번 방으로, 2번 별 대표는 2번 방으로 보내면 된다. 그렇게 하면 모든 방이 꽉 할 것이다. 걱정도 않고 있었는데 뜻밖에 #1234569 별에서 한 명이 온게 아니라 두 명이 온 것이다. 각 방은 한사람만 잘 수 있기 때문에 방을 하나 더 마련해야했다. 이미 꽉 찼는데 방을 하나 더 어떻게 마련할까 ?

인원이 두배가 되었다

1. 1234569 별에서 두 명이 갔고 그래도 잠자는 데도 회의하는 데도 문제가 없다는 말을 듣고 이번 수학대표자회의 만큼 중요한 행사가 또 언제 있을지 모르니 한명씩 더 보내자는 속셈으로 #1234569 별을 빼고 모든 별에서 한 명씩 더 보내게 해달라고 요구한 것이다. 조직위원회에서는 이렇게 할 수도 저렇게 할 수 없어서 오랫동안 토론을 한 끝에 별마다 한 명까지는 더 받기로 했다. 이 소식을 들은 숙소 지배인은 어떻게 자리를 마련할까?

모든 별에서 사람들이 몰려들었다

수학대표자회의는 성공적이었다. 며칠이 지났는데도 모두들 신바람이 나있었다. 예정했던 사람들보다 두 배가 왔지만 모두 자기 방을 갖고 잠자리도 편안했다. 별마다 음식문화가 달라서 음식에 대해서는 불평이 없는 것은 아니었지만, 워낙 재미있는 수학문제가 많이 만들어지고 함께 생각할 수 있는 기회가 많아서 문제 풀고 토론하면서 즐거운 나날들을 보냈다. 앞으로 남은 날이 며칠 없어서 모두들 서운해 했을 정도다. 준비로 고생했던 조직위원회도 뿌듯했다. 숙소 지배인도 물론이다. 대회가 시작하기 전 돈과 일손이 많이 들었지만 대수리를 해두기를 잘했다고 생각하고 있었다. 그런데 어느 날 날벼락이 떨어졌다. 이 학술회의가 앞으로 며칠 남았는데 앞으로 이틀 뒤에 이 호텔을 빼고 우주의 모든 별에 무한개의 방을 가진 무한 개의 호텔들이 모두 사흘 동안 문을 닫고 수리에 들어간다는 것이다. 게다가 그 호텔들마다 손님들이 꽉 차있었다 !

이 별로 모두 옮겨온다고 하니, 방을 마련해야 한다. 어떻게 해야 할까? 호텔 지배인은 이 문제를 어떻게 풀어야 할지 도저히 알 수 없어서 '수학자'들에게 이 문제를 해결하는데 도움을 청했다. 조직위원회를 찾아가 사정을 말했고 조직위원회는 이 문제를 즉시 모든 수학자들에게 공표했다.

“사람들이 꽉 차있는, 이 호텔로 무한개의 별에서 별마다 무한명의 사람들이 온다. 오는 사람마다 방 하나씩 줄 수 있는 방법은 무엇인가? ”

문제가 나가자 마자 바로 답이 나왔다.

x 번째 별의 y 번째 방에서 온 사람들에게 $2^{x-1}3^{y-1}$ 방번호를 주면 됩니다.

과연 방 하나에 사람 한사람씩 들어가면서 오는 모든 손님을 다 받을 수 있겠는가? 우연히 어떤 방에 두 사람에 들어가는 일이 생기지나 않을까?

이렇게 방을 배정한다고 생각하니 한시름 놓았다. 그런데 여관 관리인은 갑자기 기분이 별로 좋지 않았다. 우선 5번, 7번, 10번 방만 해도 그렇고 생각해보니, 너무 많은 방이 비게 되는 것이다. 당신은 이 별에 온 후로 편지 붙이는 거며 의료실 신세도 졌고 그 밖에 여러가지로 관리인에게 신세를 졌다. 당신은 이 참에 관리인에게 마음의 빚을 갚고 싶었다. 마침 관리인도 이 고민을 말하면서 애처럽게 당신의 얼굴을 보고 있다. 관리인의 시름을 덜어주기 위해 어떤 방법을 추천하겠는가?

그러던 어느날

상황이 모두 진정되었다. 사람들은 꾸역꾸역 왔지만 오는 대로, 그 사람이 온 별의 번호와 그 사람이 그 별의 숙소에서 묶던 방의 번호만 불러주면 차례차례 바로 방을 줄 수 있었다. 게다가 놀리는 방도 없어서 숙소 지배인도 안심하고 쉴 수 있었다. 그러던 어느날 전보담당을 하던 직원이 조직위원회에 찾아왔다. 이 직원은 나이는 제일 어린데 아주 똑똑하다고들 주위에서 말을 많이 하던 직원이었다.

"저.. 제가 생각하는 문제가 있는데, 잘 안풀려서 그렇습니다. 수학자들이시니까, 제 이 갑갑증을 좀 풀어주실 수 있는지 해서요. 저희 숙소에선 무한 길이를 갖는 전보를 칠 수 있지 않습니까? 모든 별에 하나씩 서로 다른 전보를 칠 수 있겠죠? 그래서 말인데요, 무한 길이를 갖는 전보를 전부 모아보면 이 전보들을 우리 호텔의 방마다 하나씩 넣으면 남는 전보는 없을까요, 있을까요? 어떻게 생각하면 될 것도 같은데 또 어떻게 생각하면 남는 전보들이 꼭 있을 것도 같습니다. 혹시 이 문제를 다른 분들도 재미있어 하실까 궁금하기도 해서... 어떨까요? "

그 질문을 들은 수학자들의 눈이 반짝였다. 우연히 자리에 있던 지배인은 기가 막혔다. 왜 그런 복잡한 생각을 하는 걸까? 도대체 아무것도 아닌 문제를 생각하는 저 아이나, 그걸 듣고 재미있어하는 저 사람들 도대체 왜 그럴까?

지배인이야 어떻게 생각하든, 이 문제는 대회마지막날 헤어지기 얼마 전인데도 공표가 되었다. 짐을 싸던 수학자들은 멈추고 이 문제를 생각했다. 역시 이 문제도 오래 걸리지 않아 풀렸다. 여관 관리인은 '역시 수학자들은 다르구나' 하고 생각하게 되었다. 이 문제는 어떻게 풀렸을까?

우주 기차가 떠난다.

학술 행사가 모두 끝이 났다. 마지막날 저녁 숙소 마당. 아쉬움을 달래고 학술 모임을 기념하기 위해 향연이 열렸다. (그 마당은 얼마나 컸을까? ) 향연이 열리고 모두 맛있는 음식을 먹고 못다한 이야기를 나누고 서로 연락처를 주고 받기도 했다. 모두 돌아갈 우주기차가 떠나려면 이제 남은 시간은 한시간. 사람들은 짐을 챙기러 방에 들어간다. 그때 이런 방송이 나왔다.

한사람이 방에 들어가고 그 다음 두 사람이 들어가는데 그때 먼저 들어간 사람이 나오십시오. 그리고 나서 네 분이 들어가고 그때 두 분이 나오십시오. 이런 식으로 계속해가시면 됩니다. 다음엔 여덟 분이 들어가고 네분이 나오는 식으로 계속하시면 됩니다. 혼잡을 막기 위해 1번 방 손님부터 차례로 해주십시오.

자, 이런 상황을 생각해보자. 첫 손님은 아주 게으르고 자기만 생각하는 사람이어서 무려 30분을 썼다. 30분 후 그 사람이 나오고 2번 3번 방 사람이 들어갔다. 이 사람들도 짐을 제대로 챙기지 않아 15분 뒤에야 나왔다. 그때 4,5,6, 7 번 방 사람들이 서둘러 들어갔고, 7분 30초 만에 짐을 챙겨나왔다. 시간이 갈수록 촉박해서 사람들은 안절부절 못했다. 사람들은 더 급하게 되었다. 점점 왔다갔다 하는 시간은 짧아져 그 다음 사람은 3분 45초...

이런 식으로 앞 사람이 한 것보다 두 배의 사람이 들어가고 들어간 사람들이 광속인간처럼 짐을 챙기는 시간을 앞사람보다 반으로 줄이면서 계속 '무한히' 빨라진다.(역시 수학자들은 달랐다!) 기차가 떠난다. 기차에는 몇 번 방 사람들이 탔을까? 짐을 챙겨 나온 사람은 나오자 마자 순식간에 기차에 탔다고 하자.

Note

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