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아르키메데스의 연구 활동을 크게 네 쪽으로 나눠 볼 수 있다. 이것을 다시 두 개로 분류해보면,

• 그 이전의 시대와 동시대의 문제를 계승 발전 시킨 경우
• 새로운 분야를 창조한 경우

이 둘은 엄격하게 구분할 수 없지만, 1, 2 시기를 처음에, 특히 3 시기를 둘째 경우에 넣을 수 있다.

기술자 시기 : 역학

시라쿠스에 평화적 시기가 오기 전. 50 대 이전. 기술자로서 활동했던 것 같다. 남은 수학 저작 중에는 없고, 아르키메데스 자신의 다른 저작들과 파푸스(Papp), 헤론(Heron)을 비롯한 다른 저자들의 책에 인용이 남았다.

• 주요 주제 : 중심, 단순 도형의 중심
• 주요 저작 : 기계학적 단편 (8쪽)

역학에서 수학으로

• 상대적으로 단기간에 집중해서 나온 것 같다. 던진 문제는 모두 해결. 저술 순서를 추정하기도 쉽다.
• 수학적 엄격성을 중요하게 여겼다 ; 이것이 부족할 경우 출판도 미뤘던 것 같다.
• 카논의 후계자(제자 또는 친구) 도시페이와 서신 했던 시기다.
• 주요 주제 : 도형의 넓이와 부피, construction, '계산 computing 과 계산술 (logistika)'
• 이 시기로 저작 넷을 포함시킬 수 있다.
  • 포물선의 근사 넓이(Quadrature) (20여 쪽)
  • 구와 원기둥 (70여 쪽;1권 55쪽, 2권 35 쪽)
  • 원뿔 곡선체와 회전타원체 (60 여 쪽)
  • 회오리에 대하여 (40여쪽)

기존 연구의 완성

이 시기에는 아르키메데스 시대 고대 그리스의 문제들 에서 볼 수 있듯이,

• 넓이 : 다각형의 넓이를 정사각형으로 하는 Quadrature 문제는 아르키메데스 이전 해결되었다. 이제 남은 문제는 원이나 곡선으로된 도형들을 그렇게 할 수 있는가 였다. 이 분야에서 아르키메데스 공헌.
• 부피 : 넓이와 비슷한 부피의 문제도 아르키메데스 이전에 제기 되었다. 입체 도형들을 어떻게 큐빅으로 바꿀 것인가? 가능한가? 평행6면체나 프리즘과 같은 모난 입체 도형들에 대해서는 피타고라스 학파에서, 유독수스 는 피라미드나 다면체를 큐빅으로 나타내기, 원뿔을 원기둥으로 나타내기에서 어느 정도 성과가 있었다. 아르케메데스는 구, 원뿔이나 원기둥의 표면을 원의 넓이로 나타내기에 도전하고, 더 나아가 구, 포물회전체, 타원회전체, 쌍곡 회전체를 원기둥으로 나타내기를 다룬다. 구와 원기둥 에서 옆면(?) 구하는 독특한 형식을 도입하는 것에 주의하라.
• 결국 가장 기본은, 스퀘어와 큐빅, 원과 실린더 ! 밝혔다고 볼 수 있다.

전진, 앞으로!

• 평면에서 앞의 결과들을 종합했을 때, '다각형 - 정사각형 - 원' 의 관계에 관심을 가질 수 밖에 없었을 것이다. 이것을 위해 핵심은 원둘레 !  : '회오리에 대하여 (정리18)' 에서 열쇠를 찾았고, 원의 측정 에서 계산값을 제시한다.
• 입체에서의 결과와 평면에서 확장한 것을 보았을 때, '큐빅과 원기둥'의 관계에도 관심을 가졌을 것이다. '프리즘과 실린더에 대하여

'에 다룬 듯 하나 이 저술은 발견되지 않았다.

• 제기한 모든 문제를 풀었다고 볼 수 있다. '비(非)정다각형 표면, 비(非)정다면체' 에서 실제적 방법과 일반적인 경우까지 유도한 듯하나, 이것도 전하지 않는다.
• 전하지는 않지만, 계속 확장해간 듯 하다. 파푸스 책 4권 (35쪽)을 볼 때 '구형 회오리 '를, 같은 책 5권 (11-18쪽) 을 볼 때,

같은 볼록 표면을 가진 구형 조각들(?구의 조각들) 중 최대값을 갖는 것은 구의 반조각(半球) 원과 반원의 관계의 확장이다.

• 제노도르(Zenodorus)의 'On isoperimetrical figures and bodies' (또는 On isometric figures ) 참조.

수리 물리

• 아르키메데스, 수리 물리학을 창시하다.
• 플로타르크 열전에 묘사되는 건 주로 이 시기를 다룬다. (수학에 미쳐 정상적인 생활을 완전히 잊어버린 사람으로 묘사된다.)
• 주요 주제 : 물리 현상을 수학적 엄밀함으로 설명.
• 주요 저술
  • 평면 도형들의 평형, 또는 무게중심 (26쪽 ; 1권 14쪽 , 2권 18쪽)
  • 에라스토테네스에게 보낸 기계학적 정리 (30쪽)
  • 떠다니는 물체들 (30쪽 ; 1권 10쪽, 2권 38쪽)

새 길을 열다

역학적 적분법(method of mechanical integration) 참조.

산술, 천문

• 나머지 저술들을 보통 여기에 넣는다.
• 계산성을 중요하게 여긴다. 앞의 시기들과는 확연하게 구분되는 주제를 탐구하고 있다.
• 산술과 천문학에 대한 관심.
• 주요 저술
  • 원의 측정 (6쪽)
  • 프사미트(모래알 세는 사람) (10쪽)
  • 에라스토테네스에게 보낸 문제(소에 대한 문제)
  • 다면체
  • 스토마히온 (12쪽)
  • 카톱트리카 (2쪽)
  • 하늘 구체(천체)의 조직 (2쪽)
  • 구에 외접하는 다면체 (4쪽)
  • 소정리들을 담은 책 (10~20쪽)
  • 원의 작도 (15쪽)
  • 아르키메데스의 정리 (6쪽)
  • 원에 접하는 것들 (20쪽)

그리고

• 전혀 전하지 않는 책으로 이름만 남은 저술도 있다.
  • 기하원본에 대하여 (On Elements): 기수법을 다루면서 ' 프사미트(모래알 세는 사람) '를 발전시킨 것으로 보인다.
  • 제우크시두스(?) 에게 보내는 서한
  • 프리즘과 실린더에 대하여