Quadric Dioph Lagrange

• 이 글은 페르마-오일러 정리, 가우스 정리 함께 보기 바랍니다.

문제의 역사

사실 이 문제는 디오판테스는 산술을 쓸 당시 이미 궁금해하던 문제였다. 디오판테스는 어렴풋이 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 될 것이라는 가설을 세웠던 것 같다. 바세 드 메지리악(Claude Gaspard Bachet de Méziriac : 1581 - 1638)이 1621 년, 그리스어 원문에서 당시 학문의 공영어였던 라틴어로 번역하였는데 그는 원문을 그대로 하지 않고 이미 발전한 대수적 기호를 상당히 썼다. 이로써 이 문제는 좀더 분명하게 드러났다. 페르마가 써두었다는 유명한 마지막 정리도 바로 바세의 번역판이었다. 페르마는 "모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합" 으로 나타낼 수 있다는 사실을 "증명했다"고 친구에게 보내는 편지에 썼다. 거기에는 증명의 스케치가 있었다. 오일러도 이를 증명했는데, 페르마의 밑그림을 따른 것이다. 라그랑쥐가 1770년에 증명한 것이 공개된 증명 중 최초로 여겨진다.

라그랑쥐 정리

Lagrange 정리  : 어떤 자연수도 네 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

앞에서 나타낸 식으로 하면 어떤 자연수 N 에 대해서도

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=N$

인 네 정수를 찾을 수 있다. 또는 정수들의 제곱들 넷의 합으로 만들어진 집합은 자연수 집합과 같다.

다시 말해 위의 형태의 디오판테스 방정식은 해결가능하다.

보조 정리

보조정리 1 : 네 제곱의 합을 두 개 곱하면 네 수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다.

다시 말하면 어떤 정수 a, b ,c, d, e, f, g, h 에 대해서

$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2})=k^{2}+l^{2}+m^{2}+n^{2}$

가 되는 k, l, m, n 을 찾을 수 있다.(왜 그런가?)

보조정리 2 : 어떤 정수 a, b ,c 에 대해, 그리고, 2보다 큰 소수 p 에 대해 다음이 성립하는, p 보다 작은 m 을 찾을 수 있다. (왜 그런가?)

$mp=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

증명 밑그림

• 모든 소수 p 는 네 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다.
  • p = 2 일 때 네 정수는 0,0,1,1
  • p > 2 일 때, 주어진 p 에 어떤 대해서든 Mp가, 네 수의 제곱의 합으로 표현되도록 하고 p 보다 작은 M 이 존재한다면, 그 중 가장 작은 수 m 은 1이라는 것을 다음과 같이 보이자.
    • m 이 짝수일 때 : 모순
    • m 이 홀수일 때 : mp = xm + ym 인 정수 x 를 계산하고, y를 가정할 수 있다. y > 0 일 때 모순이라, 이 때 y = 0 일 수 밖에 없고 그 때 m = 1
  • 따라서 m = 1. 그래서 모든 소수는 네 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다.
• 모든 합성수도 그렇다. (산술의 기본정리 와 보조정리 1 사용)

따라서 우리는 위의 '밑그림'에서

p > 2 일 때, 주어진 p 에 어떤 대해서든 Mp가, 네 수의 제곱의 합으로 표현되도록 하고 p 보다 작은 M 이 존재한다면, 그 중 가장 작은 수 m 은 1이다.

라는 사실만 보기로 하자.

증명

먼저 그런 M 이 존재한다는 성질부터 보여야 한다.

우리는 2보다 큰 어떤 소수가 주어졌든 상관없이, p 보다 작고 세 정 수의 제곱으로 표현할 수 있는 수를 찾을 수 있다는 것을 밝혔다. (보조정리 2)

그렇다면 추가하는 한 수를 0으로 했을 때 그런 M 이 존재한다는 분명하다.

p 보다 작은 수들 중 네 수의 제곱으로 나타낼 수 있는 수들은 여럿 있을 수 있다. 그 중 가장 작은 수를 m이라 하자. 다시 말해,

$m={\mbox{min}}\{M\ |\ \forall p\exists a,b,c,d\ (Mp=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\ )\ \}$

• m 이 짝수일 때

m 이 짝수면, a,b,c,d 모두 짝수거나, 둘은 짝수 둘은 홀수인 경우. c, d가 홀수인 경우만 보자.

그렇다면 a+b , a-b, c +d , c-d 를 모두 2로 나눈 수들은 모두 정수다. 이 수들을 차례로 u,v,x,y라 하자. 그렇다면

$u^{2}+v^{2}+x^{2}+y^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2}}$

이고, 이 수는 결국

${\frac {mp}{2}}$

다. 네 정수의 제곱으로 나타낼 수 있는 가장 작은 수는 m 이라고 가정했는데 더 작은 수가 있다는 말이다. 말도 안된다.

• m 이 홀수일 때

a, b ,c, d 들은 정수이므로 $mq_{i}+r_{i}$ 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 몫과 나머지는 모두 정수고 나머지들은 m/2 보다 작게 잡을 수 있다. 그렇다면

$mp=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=(\cdots )m+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}$

이다. ( $\cdots$ ) 부분은 몫과 나머지와 m으로 이루어진 계산 결과 어떤 정수일 것이다. 이 수를 X 라고 하자. 그래서

$m(p-X)=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}\geq 0$

이므로 p-X 는 음수가 아닌 어떤 정수다.

그런데 과연 앞에서 p-X 이 0 이 아닐 수 있을까? 아니라고 해보자. 그렇다면

$p-X<m$ 이고

$(p-X)p$ 는 어떤 네 제곱수의 합으로 표현되고

는 것을 보여, m 이 최소값이라는 가정과 모순이 된다. (왜 그런가?)

따라서 p = X 여야 한다.

X = p 이므로 $r_{i}$ 들은 모두 0 이어야 한다. 따라서

$mp=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=(mq_{1})^{2}+(mq_{2})^{2}+(mq_{3})^{2}+(mq_{4})^{2}=(\cdots )m^{2}$

이다. ( $\cdots$ ) 부분은 1이 아닌 어떤 양의 정수일 것은 분명하다. 그래서

$p=(\cdots )m$

다. p 는 소수이므로 m 은 1 이다. $\vartriangleleft$

정리와 증명에 대하여

위의 증명은 elementary 한 증명이라 잘 따라가면 충분히 이해가 될 수는 있다. 그런데 몇 번의 꺽어짐이 있어서 읽고 나서 멍멍해질 수도 있다. 위의 정리가 수론 분야에서 18-9세기의 업적으로 평가하는데 왜 그럴까 ? 그 뜻을 새겨보기 위해 다시 처음으로 돌아가보자.

정리에 대하여

먼저 위의 정리은 무엇을 말하는가? 기하학적인 사고를 해보면 위의 정리는 다음과 같이 해석해 볼 수 있다.

우리에게 어떤 점들의 개수를 주건 상관없이 그것을 기껏해야 네 개의 '정사각형 점'들로 나타낼 수 있다.

여기서 점 하나로 된 것도 정사각형 점으로 쳤다. 또는 다음과 같이 해석할 수도 있다.

어떤 네 정수(또는 0을 포함한 자연수)를 제곱하면서 더하는 과정을 끝없이 계속해서 만들어지는 수의 집합은 모든 자연수를 다 나타낼 수 있다.

그에 비해

• 페르마-오일러 정리 에 따라면 두 정수의 제곱 만으로는 표현하는 수가 소수라면 4n +1 꼴의 소수들만 다 덮는다.
• 세 정수들의 제곱의 합으로 표현가능한 자연수 $\Leftrightarrow$ 음이 아닌 정수 n, k 에 대하여 $4^{n}(8k+7)$ 꼴이 아닌 자연수 : 이 정리는 라그랑쥐가 발견하고 증명을 시도했지만, 그 완성은 가우스가 해냈다. ( 가우스 정리 참고)
• 그에 비해 네 정수들의 제곱으로 표현할 수 있는 수는 드디어 모든 자연수를 다 덮는다.

다시 말해 이는 제곱항의 합으로 표현하는 수들의 세계에 대해서는 충분히 밝혀진 셈이다. 이에 대해 종지부를 찍는 듯한 정리가 있는데 그것이 바로 민꼽스끼-하세 정리 다.

과연 세제곱에 대해서는 어떤 일이 일어날까? 이 문제는 새로운 흥미거리다. 하지만, 세제곱만 해도 벌써 탐구가 험난하다는 것을 짐작해볼 수 있다. 제곱항들은 항상 자연수가 되기 때문에, 앞에서 보았듯이 산술의 기본정리 가 '기초적인' 역할을 한다. 그에 비해 정수 세계에 대해서는 그런 기대를 할 수 없다.

그리고 어떤 자연수를 네 제곱항으로 표현할 수 있는가 하는 문제는 디오판테스 방정식의 어떤 특수한 형태의 방정식 모임 중 하나다.

$a_{n}x_{n}^{2}+a_{n-1}x_{n-1}^{2}+\cdots +a_{1}x_{1}^{2}=m$

이라는 디오판테스 방정식의 특수한 형태다. 피타고라스 정리와 그것의 수론적인 의미를 확장하고 일반화하는 과정에서 이 어쩌면 이 문제는 피해갈 수 없는 문제였던 것이다. 피타고라스 정리를 다시 쓰면

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}^{2}$

인 해를 구하는 문제로써 이의 의미와 확장에 대해서는 피타고라스 세쌍수 에서 나름대로 탐구해들어 간다. 이의 변형 - 확장 형태는 우선

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=N$

인 방향으로 가면서 N 의 성격이 무엇일까 ? 탐구하는 것일 테고 그로부터 세 제곱, 네 제곱으로 확장하면서 최소한 '자연수 전체'를 드러낼 만한 차수가 언제일까 ? 라는 질문을 던질 수 있다.이것이 우리가 보아온, 또는 앞으로 볼 페르마-오일러 정리, 가우스 정리 , 민꼽스끼-하세 정리 들이다.

또한 다른 방향으로는

$x_{1}^{n}+x_{2}^{n}=x_{3}^{n}$

을 참으로 하는 정수해를 과연 가질 것인가? 에 대한 탐구의 길인데 이는 페르마의 위대한 정리 (또는 '페르마 마지막 정리') 에서 결론이 났다.

물론 탐구는 더 일반적인 경우로 확장될 수 있다. 이에 대해서는 힐버트 문제 의 10번째 문제와 같다.

증명에 대하여

처음으로 돌아가보자. 우리가 증명해야 할 것은 어떤 자연수에 대해서도 네 개의 정수들의 제곱의 합으로 표현할 수 있다는 것을 나타내는 것이 목표다. 우선 산술의 기본정리 와 보조정리 1 에 따라, '소수'가 그렇게 될 수 있다는 것만 보이면 충분하다. 그렇다면

$p=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$

를 나타내야 하고 이를 위해서는

$Mp=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

이고 m 이 1 이라는 것을 보여야 한다. 주어진 어떤 소수 p 에 대해 어떤 자연수 m 을 곱해가면 네 제곱수로 쪼갤 수 있을 것이므로, 문제의 관건은 M 중 가장 작은 수 m 이 1일 수 밖에 없다는 것을 보여야 했을 것이다. 이를 위해서는 먼저 그렇게 되는 M 들이 존재한다는 것을 보여야 했고, 이 수학적 사실을 보인 보조정리 2 는 가장 중요한 부분이었다.

존재한다는 것이 증명되었으므로 이제 그 중 가장 작은 수를 m 이라 하고 그 m 은 1 일 수 밖에 없다는 것만 보이면 되지만, 아직은 전혀 분명하지 않다. 따라서 m 을 몇 가지 경우로 나누어 생각게 되는데, 여기서는 짝수와 홀수로 나누어 보았다. 짝수 일 경우 모순이라는 것은 쉽게 드러난다. 홀수 일 경우가 문제다. 여기서는

$p=m(\cdots )$

형태로 표현될 수 있다는 것을 보이면 p 가 소수이므로 m 은 1 일 수 밖에 없다. 그것을 어떻게 이끌어내느냐가 문제다. 위의 증명에서는

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=mp=m^{2}(\cdots )$

의 형태로부터 그것을 이끌어낸다. 그렇다면 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 으로부터 $m^{2}(\cdots )$ 를 유도해야 했고, 이를 위해 a, b, c, d 를 m 으로 나눈 몫과 나머지로 $mq_{i}+r_{i}$ 표현하여

$m(p-X)=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}$

로 'm/2 보다 작게 잡은' 나머지들의 네 수들의 제곱의 합으로 나타내면서 우리가 원하지 않은 경우들에 대해서는 모순이 나올 수 밖에 없음을 보여가는 증명 방법이다.

증명은 대단히 놀랍지만, 이 증명 방식은 분명히 여러번 꺽어짐이 있어서 부자연스러운 구석이 있다. 더 명쾌하고 elementary 한 증명은 없는 것일까?

다시 정리에 대하여

이 정리는 정리 자체로도 무릎을 탁 치게하는 맛이 있지만, 한번 더 생각해보면 다음과 같이 이어지는 질문을 생각하지 않을 수 없게 만든다.

$x^{3}$ 꼴의 합으로도 모든 자연수를 나타낼 수 있을까? 있다면 몇개의 합으로 가능할까?

더 일반적으로

$x^{n}$ 꼴의 합으로도 모든 자연수를 나타낼 수 있을까? 있다면 몇 개의 합으로 가능할까?

하는 문제다. 앞의 가우스 정리 에서처럼 정수들의 제곱들을 세개만 더해서는 자연수 전체를 다 표현할 수 없었듯이, 큐빅형태들 ($x^{3}$) 들의 합은 네개의 합으로 표현하는 것은 안 될 가능성이 크다. 왜냐하면

$0,1^{2},\ 2^{2},\ 3^{2},\ \dots$

와 같은 제곱수들의 열은 자연수 전체 열에서 상당히 '성긴' , '띄엄띄엄' 있는 수들인데 그것들을 넷을 조합해서 더해야 자연수 전체를 나타낼 수 있었다. (이 열을 'rank 4인 base'라 부르자.) 그런데

$0,1^{3},\ 2^{3},\ 3^{3},\ \dots$

처럼 '더 띄엄띄엄' 있는 수의 열 넷 만으로 자연수를 모두 나타낼 수 있어 보이지 않는다. 그럼 몇 개의 합으로 될까? 다시 말해, rank 몇 인 base가 될 수 있을까?

그렇다면 n 차 들의 합에 대해서는 ? 과연 n 을 충분히 크게 잡아 '엄청나게 띄엄띄엄' 된 수의 열로 특정한 몇 개가 정해져서 이것으로 자연수 전체를 다 표현할 수 있을까? 없다면 자연수 전체를 표현할 수 없는 최초의 n 차는 몇 차일까?

관련문제

페르마 다각수 정리

와링 힐버트 정리

Note

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