Math Logic Rules

수리논리의 세계 로 돌아가기

논리적 법칙(Rules)

'논리'란 사람이 생각하는 틀이다. 어떤 틀로 생각하는가 하는 것은 쉽게 답할 문제가 아니다. 사람마다 다른 논리를 적용할 수 있고, 상황에 따라 다른 논리로 말할 수도 있다. 하지만, 유추하는 과정에서 보통 받아들일만한 법칙이 있을 수 있다. 고전적인 논리학에서 공리나 기초적인 정리라고 받아들여지는 법칙들을 볼 것이다. 비고전적 논리학이라는 것도 있을까? 물론이다. 비고전적인 논리학이란 하나가 아니다. 마치 좁은 의미에서의 유클리드 기하학이 있고 유클리드 기하학에서 보통 받아들여지는 원소들과 그 원소들의 기본적인 성질(공리 또는 기초정리)과 비교해서 그것과 다른 기하학을 비유클리드 기하학이라 부르는 것과 크게 차이 없다. 여기서는 '참이거나 거짓'이면 그 문장은 항상 참이라고 생각하는 고전적 생각에 반기를 든, 그래서 '아닌 것이 아니다.' 가 '이다'가 될 수 없다는 것을 주장할 수 밖에 없었던 철학적 입장(소위 '직관주의')을 가진 논리에 대해 겉핥기를 한다.

Modus Pones

예를들어,

둥근 보름달이 환합니다. 보름달이 뜰 때마다 멀리 떠난 당신의 얼굴을 보는 것만 같습니다. 오늘 밤에도 보름달이 저리도 환합니다. 라고 누군가 말했다고 하자. 삭막하고 건조한 말이라고 느낄 수 있겠지만, 위의 말들이 모두 사실이라면 그로부터 새로운 사실을 이끌어 낼 수 있다. 보름달이 뜨면 그에게는 님의 얼굴을 보는 것 같은 느낌이 든다. 와 오늘 밤에도 보름달이 떴다. 라는 사실이다. 그래서 결론적으로 새로운 사실을 유추하게 된다. 이 말을 한 사람의 말이 참이라면

오늘 밤에는 '당신'의 얼굴을 보는 것 같은 느낌이 들었다.

라는 우리가 유추하는 것은 무리가 없다. 수학에서 더 자주 이런 일이 일어난다. 매우 흥미로운 문제 중 하나.^[1]

10진법무한소수점 표현법으로 $\pi$ 를 나타낼 때, 그 안에 10,000 개 연속 0 이 이어지는 구간이 있을까?

이 문제를 직접 증명할 수도 있겠지만, 어느 날 길동이가 다음과 같은 사실을 밝혀냈다고 하자.

\pi

를 10진법무한소수점 표현법으로 나타냈을 때, 0 이 1,000 개 이어진 구간이 나온다면 10,000 개 이어진 구간이 나올 수 밖에 없다.

이 결과가 나오자마자, 평소 길동이와 경쟁을 하던 옆집 순이가 다음과 같은 사실을 밝혀냈다.

\pi

를 10진법무한소수점 표현법으로 나타냈을 때, 0 이 1,000 개 이어진 구간은 있을 수 밖에 없다.

그렇다면 우리는 처음 던졌던 질문에 대해 답을 얻은 셈이 된다. 이는 새로운 사실을 유추하는 논리적 법칙이다. 많은 사람들이 받아들일만하다. 앞선 두 문장으로부터 새로운 문장을 얻는 논리적 틀인 것이다. 모더스 포넌스라고 부른다. 이것을 형식 논리의 언어로 나타내면 이렇게 할 수 있다.

{\frac {p,\ p\rightarrow q}{p}}

꼭 두 문장이 있어야 하는 것은 아니다. 중간에 다른 명제들을 거쳐서 이것에 이를 수 있다. 예를들어, 이행성( transitive) 법칙과 연결해서 생각하면,

{\frac {p\rightarrow q,\ q\rightarrow r,\ p}{r}}

다른 예를들어보자. 가상의 상황이다. 골드바흐 추측 에서 이미 보았듯, 아직 여기까지 이르지는 못했다. 예를 들어 다음 명제를 누군가 증명했다고 하자.

리만 가설 이 참이라면, 모든 짝수는 단 두 개 이하의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

그렇다면 리만 가설을 증명할 경우, 우리는 골드바흐 추측이 옳았다는 것을 믿을 수 있다.

다른 논리적 법칙들

모더스 포넌스 말고도 믿을만한 논리적 법칙들이 있다. 어떤 논리 시스템에서는 공리적 형태로 한 명제식으로 드러내고, 어떤 논리 시스템에서는 그것을 모더스 포넌스 처럼 규칙의 형태로 나타낸다. 비슷한 내용인데, 어떤 시스템에서는 공리가 많고 규칙은 적은 쪽을 택하고, 어떤 쪽에서는 공리는 적고 규칙이 많은 것을 택한다. (그것이 무슨 차이일까?)

논리적 법칙이란, 명제 변수들 $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}$ 의 참 거짓에 상관없이 사람들이 누구나 '합당하다.'고 믿을만한 명제들을 말한다. 일단 나열을 하고 설명을 덧붙인다.

$p\lor \neg p$	$\neg (p\And \neg p)$	제 3 의 가능성 배제의 법칙과 모순 배제의 법칙
$(p\And q)\ \leftrightarrow \ (q\And p)$	$(p\lor q)\ \leftrightarrow \ (q\lor p)$	'그리고' 와 '또는' 의 교환 법칙
$((p\And q)\And r)\ \leftrightarrow \ (p\And (q\And r))$	$((p\lor q)\lor r)\ \leftrightarrow \ (p\lor (q\lor r))$	'그리고' 와 '또는' 의 결합 법칙
$(p\And (q\lor r))\ \leftrightarrow \ ((p\And q)\lor (p\And r))$	$(p\lor (q\And r))\ \leftrightarrow \ ((p\lor q)\And (p\lor r))$	'그리고' 와 '또는' 의 분배 법칙
$\neg (p\And q)\ \leftrightarrow \ (\neg p\lor \neg q)$	$\neg (p\lor q)\ \leftrightarrow \ (\neg p\land \neg q)$	드 모르강 법칙

제 3 의 가능성 배제의 법칙

첫줄 왼쪽에 있는 법칙 : 어떤 명제식이 $p\lor \neg p$ 꼴을 가진 경우다. 예를들어 "나는 살아있거나 죽었다", " 1+ 2 = 3 이거나 1 + 2 $\neq$ 3 " 또는 " 3451 은 소수거나 소수가 아니다." 같은 경우다. '제3의 진리를 배제한다"는 것을 뜻한다. p 가 명제라면 이 법칙은 당연히 받아들일만한 법칙이다. 그런데,

" 완전수의 개수는 끊없이 많거나 유한개다" , " 어떤 수의 제곱과 그 수 다음 수의 제곱 사이에는 항상 소수가 있거나 없다"

과 같은 문장은 어떻게 할까? 이 문장은 수천년, 수백년 동안 아직 증명되지 않고 있다. 어쨌건 둘 중 하나는 참일 수 밖에 없으니, 위 문장들은 모두 참일 수 밖에 없다고 믿는 입장은 고전주의다. 이것을 부정하고 무한한 원소를 대상으로 하는 어떤 성질에 대해 참인지 거짓인지 분명하게 알 수 없는 경우도 있을 수 있다. 그래서 $p\lor \neg q$ 를 받아들이기 위해서는 그것이 p 인지 아니면 $\neg p$ 인지 분명하게 드러낼 수 있어야만 위의 명제식을 참이라 할 수 있다고 믿는 입장이 있다. 명제의 진리표 에서 이런 입장을 가진 논리학의 진리표의 예를 보았다. 작은 입장차이가 아니다. 이 명제를 받아들이느냐 그렇지 않느냐는 워낙 논리적으로 기초적인 문제라 이것 하나때문에 수학을 다시 써야할 수도 있다. 합당하게 받아들여질 수 있는 논리적 법칙을 거부했기 때문에 이런 논리를 수학의 기초로 받아들이는 입장의 수학은 대단히 어려워질 수 밖에 없다. 이런 철학적 입장에서는 논리적으로 어떤 것들이 거부되는지 직관주의 논리학 저~ 아래 직관주의 논리학에 비교해두었다.

모순 배제의 법칙

첫줄 오른쪽에 있는 법칙 : 어떤 명제식이 $\neg (p\And \neg p)$ 인 경우다. 이 경우는 대부분 받아들여진다. 어떤 명제가 $p\And \neg p$ 라고 하면 그것은 분명 모순이다. (또는 모순의 정의이기도 하다.) 이런 논리적 구조를 가지고 있으면 명제 변수에 어떤 문장이 들어 있어도 그 경우는 배제하겠다는 것이다. 앞에 들었던 예를 바꿔서 다시 생각해보면

" 완전수의 개수는 끊없이 많고 끝이 있다." , " 어떤 수의 제곱과 그 수 다음 수의 제곱 사이에는 항상 소수가 있기도 하고 없기도 하다. "

일상에서는 이런 모순적인 문장들이 등장하기도 한다. 언뜻 보면 동양사상은 모순을 배제하지 않는 듯 보이기도 한다. "있기도 하고 없기도 하다" " A 도 옳고 A 가 아닌 것도 옳다" 라는 구조의 문장들이 자주 등장한다. 그 숨은 뜻도 과연 그런가 그렇지 않은가 또는 그것이 옳은가 그른가 따지는가, 그것의 수학의 정신과 완전히 위배되는가 ? 이런 문제데 답하는 것은 주제 밖이다. 다만 모순을 배제하는 법칙을 받아들이고 논리를 발전시켰을 때, 명제의 세계에서는 어떤 성질들이 있는가 보는 것이 논리학이다. 만약 모순 배제의 법칙을 못마땅하게 여기는 사람은 이것을 굳이 공리나 법칙으로 받아들이지 않은 논리학을 세우고 그 논리 세계에는 어떤 일이 일어나는지 보는 것만으로도 흥미로운 탐구 방향이다. 하지만, 모순을 받아들여버리면 어떤 문장이든 모든 문장은 참이라는 것을 이끌어낼 수 있다. 수학이라는 건축을 쌓아올릴 수 없다. 비어있음의 세계다.

수에 대한 성질을 밝혀내건, 식의 세계건, 함수의 세계건 어떤 이론을 발전시키면서 새로운 성질들을 탐구하는데 거기서 'p' 도 발견되고 'p 가 아니다' 도 밝혀진다면 그 이론은 수학적을 좋은 이론으로 보지 않는다.

보통 고전 논리에서는 $\neg (p\And \neg p)$ 은 드모르강 법칙에 따라 $\neg p\lor \neg \neg p)$ 이고, '아니다의 아니다는 이다.'를 받아들이기 때문에 $p\lor \neg p$ 를 유도할 수 있다. 다시 말해 수학에서 가장 기초적이라고 할 수 있는 '모순 배제의 논리'에 고전논리에서 받아들여지는 '이중 부정은 긍정'의 법칙을 따르면 제 3 의 가능성 배제의 법칙은 '증명된다'. (따라서 고전주의 공리 시스템을 설계할 때는 제 3 의 가능성 배제의 법칙은 공리에서 빼고 대신 정리로 본다.)

기타

위 표의 나머지들 중 드 모르강의 법칙을 빼고는 충분히 납득할 수 있다. 이제 나머지 법칙들을 보기로 한다. 아래의 경우에도 고전 논리학에서 받아들여지는 부분들이다. 드 모르강 법칙이나, 아래 정리들 중 비고전주의에서 문제 삼을 만한 것들은 직관주의 논리학 를 참고하라.

(p\rightarrow q)\ \leftrightarrow \ (\neg q\rightarrow \neg p)

(p\lor (p\And q))\ \leftrightarrow \ p

(p\And (p\lor q))\ \leftrightarrow \ p

(p\rightarrow q)\ \leftrightarrow \ (\neg q\rightarrow \neg p)

p\leftrightarrow \ \neg \neg p

p\rightarrow \ (q\rightarrow (p\And q))

아래는 모더스 포넌스와 같은 형태로 쓴 규칙들이다. 모더스 포넌스 처럼 이런 규칙들이 있으면 새로운 명제를 얻는 규칙이 된다. 아래 표에서 위에 있는 명제들이 증명되었다면 아래 부분의 명제도 증명되었다고 볼 수 있다는 말이다. 예를들어두었다. 충분히 납득할 만하다.

논리적 법칙	예 (다른 예)
${\frac {p\rightarrow q,\ p\rightarrow r}{p\rightarrow (q\And r)}}$	p : x 는 소수다. q : (x-1)! + 1 은 x 로 나뉜다. r : 어떤 자연수 a 에 대해서도 $a^{x}-a$ 는 x 로 나뉜다.^[2]
${\frac {p\rightarrow (q\And r)}{(p\rightarrow q)\quad {\mbox{or}}\quad (p\rightarrow r)}}$	p : x 는 자연수다. q : x 는 소수들의 곱으로 표현된다. r : x 는 네 개 이하의 '자연수의 제곱'으로 표현된다.^[3]
${\frac {p\rightarrow q,\ q\rightarrow r}{p\rightarrow r}}$	p : 밤 하늘은 무서우리만큼 높다. q : 몇 십개의 별의 차가운 눈빛이 반짝이고 있다. r : 내 뜰의 들꽃에 무서리를 뿌리고 있다. ^[4]
${\frac {p\rightarrow q,\ r\rightarrow s}{(p\And r)\rightarrow (q\And s)}}$	p : $2^{n}-1$ 이 소수다. (상을 받는다.) q : $2^{n-1}(2^{n}-1)$ 은 짝수인 완전수다. (바르셀로나행 항공권을 선물한다.) r : x 는 삼각수다. (휴가를 받는다.) s : x 는 어떤 세제곱수들만의 합으로 나타낼 수 있다. ^[5] (함께 스페인 여행을 떠난다.)

Note

↑ 이 문제는 브라우어 가 던졌을 것이다, 아마, 기억이 틀리지 않았다면. :(
↑ 페르마 소정리 부분 참조. 페르마 소정리와 윌슨 정리를 인용하였다.
↑ 산술의 기본정리 와 라그랑쥐 정리 를 참고하라.
↑ 루신의 수필 '가을밤'에서 일부를 억지로 옮김. 수필 '가을밤'의 첫부분 : 우리 집 뒤란, 담 밖으로 두 그루의 나무가 보인다. 한 그루는 대추나무, 또 한 그루도 대추나무다. 그 위의 밤하늘은 무서우리만큼 높다. 나는 평생을 두고 이토록 무서우리만큼 높은 하늘을 본 적이 없다. 그것은 사람이 아무리 고개를 치켜들어도 보이지 않을 만큼 훌쩍 인간 세상을 떠나버릴 것만 같다. 그래도 분명한 것은 지금 이 순간에도 저토록 쪽빛 짙은 하늘에 몇십 개의 별, 그 차가운 눈빛이 반짝이고 있다는 것이다. 그리고 저 입가에 번지는 미소는 무슨 조화라도 부리듯 내 뜰의 들꽃에 무서리를 뿌리고 있다. (허 세욱 역) 루신의 가을밤의 상념에 담긴 논리가 놀랍다!. '가을 밤' 전문보기
↑ 다음 예를보라.
$6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,\,$

$28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\,$

$496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+\cdots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\,$

$8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,$
게다가, $2^{n-1}(2^{n}-1)$ 꼴은 항상 삼각수다. 다각수나 완전수에 대한 정의는 특별한 자연수들 을 참고하라.

[1] 이 문제는 브라우어 가 던졌을 것이다, 아마, 기억이 틀리지 않았다면. :(

[2] 페르마 소정리 부분 참조. 페르마 소정리와 윌슨 정리를 인용하였다.

[3] 산술의 기본정리 와 라그랑쥐 정리 를 참고하라.

[4] 루신의 수필 '가을밤'에서 일부를 억지로 옮김. 수필 '가을밤'의 첫부분 : 우리 집 뒤란, 담 밖으로 두 그루의 나무가 보인다. 한 그루는 대추나무, 또 한 그루도 대추나무다. 그 위의 밤하늘은 무서우리만큼 높다. 나는 평생을 두고 이토록 무서우리만큼 높은 하늘을 본 적이 없다. 그것은 사람이 아무리 고개를 치켜들어도 보이지 않을 만큼 훌쩍 인간 세상을 떠나버릴 것만 같다. 그래도 분명한 것은 지금 이 순간에도 저토록 쪽빛 짙은 하늘에 몇십 개의 별, 그 차가운 눈빛이 반짝이고 있다는 것이다. 그리고 저 입가에 번지는 미소는 무슨 조화라도 부리듯 내 뜰의 들꽃에 무서리를 뿌리고 있다. (허 세욱 역) 루신의 가을밤의 상념에 담긴 논리가 놀랍다!. '가을 밤' 전문보기

[5] 다음 예를보라.
$6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,\,$

$28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\,$

$496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+\cdots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\,$

$8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,$
게다가, $2^{n-1}(2^{n}-1)$ 꼴은 항상 삼각수다. 다각수나 완전수에 대한 정의는 특별한 자연수들 을 참고하라.

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