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피타고라스 정리 로

넓이

고대부터 현대까지, 순수한 호기심에서부터 실용적 목적에 이르기까지 '넓이'라는 개념은 매우 중요한 기초 개념이다. 고대 문명의 발상지와 고대 그리스라는 시-공간을 지나면서 기하학은 나고 자라게 된다. 다시 말해, 고대 문명에서 기하학은 현실에 닦친 문제를 해결하기 위하여 썼던 도구 역할을 한다. 이때 경작지의 넓이나, 건축물의 높이를 측정하는 문제, 신전을 지을 때 같은 넓이를 갖는 도형들로 장식하는 문제들이 제기 되었다. 그러다가 고대 그리스에서는 도구를 개발하는 더 폭넓게 쓰이는 한편, 세계를 이해하는 철학과 과학의 언어로 이해되기 시작한다. 기하학은 그 자체로 논리적으로 엄격한 학문의 틀을 다져간다. 바야흐로 기하학은 '땅넓이 재는 ' (geo-metry) 데서 떨어져나오게 되는 것이다.

그렇다고해서 그 기원이 무시될 수는 없는 노릇이다.

넓이란 무엇인가?

넓이에 대한 문제는 기하학의 역사를 관통하고 있다. 땅의 넓이와 곡식알갱이의 관계를 나타내는 수천년전의 기록도 남아있다. 고대 그리스 이후 고전 기하 3대 문제로 불리워 온 것 중 "주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있는가? " 라는 문제를 보라. 또 곡선으로 이루어진 도형의 면적을 구하는 일반적인 해법을 찾다가 등장한 것이 '적분' 인 것이다!

아주 어렸을 적 산수를 배울 때부터 우리는 넓이 구하기를 해왔다. 삼각형, 사각형,평행사변형 같이 간단한 도형들의 넓이를 구하는 '공식'을 외어왔다. 하지만 도대체 넓이란 무엇인가?

어떤 도형의 성격을 결정하는 방법은 여러가지가 있을 수 있다. 각이나 변의 수로 어떤 도형의 성격을 결정하여 이름을 붙일 수 있고, 차지하는 공간(차원)으로 도형의 성격을 볼 수도 있고, 점들의 연결상태로 결정할 수도있다. 그럴 때마다 관심의 촛점은 달라지고 탐구의 영역도 달라지게 된다. 우리는 여기서 소위 유클리드 평면에서도 다각형이라 불리는 도형의 넓이에 촛점을 맞추기로 한다.

다각형의 면적

어떤 수학적 대상이 등장하건 우리는 그것을 비교한다. 어떤 수와 어떤 수를 비교해서 '어떤 수가 어떤 수보다 크다 또는 작다 또는 같다.'라고 말한다. 마찬가지로 기하학에서도 주어진 도형을 비교하기도 하다. 두 선분이 주어지면 '길이가 길다, 짧다, 같다' 와 같이 비교하기도 하고, 한점을 공유하는 두 반직선에 대해 '각이 크다, 작다, 같다'와 같이 비교하기도 한다. 마찬가지로 어떤 도형에 대해 우리는 어떤 것이 더 크다, 작다, 같다라고 말한다. 그런데 어떤 도형 - 여기서는 다각형 - 들을 비교하기 위해서는 그것을 비교할 기준이 분명해야 한다. 다각형을 비교하는 가장 기초적인 개념은 넓이다. 직관적으로는 다각형이 평면에서 차지하는 정도를 넓이라고 할 수 있다. 다음의 조건을 만족하면 그것을 넓이라고 한다.

• 다각형의 넓이는 양수다. : define mapped number field.
• 같은 다각형의 넓이는 같다. : 함수로서의 기본 요건, 도형 하나에 수 하나만 대응하라.
• 어떤 다각형을 몇개의 부분으로 나누면 그 다각형의 넓이는 쪼개진 부분의 넓이들을 합한 것이다.
• 길이 1 을 한변으로 하는 정사각형의 넓이는 1 이다.

물론 넓이를 '정의'하는 방법은 조금 다를 수 있지만, 위의 네 조건 또는 기초성질 또는 공리를 만족하는 것을 넓이라고 할 수 있다. 이는 점, 선, 면과 같은 것을 성격을 규정하여 정의하는 '공리론적' 방식과 같다. 따라서 위의 정의를 '넓이에 대한 공리'라고 하자. 첫번째 두번째 공리가 가장 기초적인 것이고, 네번째는 '계산'하기 위한 공리다. 여기서 한 변의 길이가 1인 정사각형을 단위 정사각형이라고 부르기로 하자. 세번째는 '더하기 공리'라고 불러도 좋을 것이다.

이를 만약 기호로 써보자. 어떤 도형 F 의 면적을 S(F) 라 하면,

• $S(F)\geq 0$
• $F=G$ 이면 $S(F)=S(G)$
• $F=F_{1}\oplus F_{2}\oplus \cdots \oplus F_{n}$ 이면 $S(F)=S(F_{1})+S(F_{2})+\cdots +S(F_{n})$
• F 가 정사각형이고 한 변의 길이가 1 이면 $S(F)=1$

위에서 볼 수 있듯, S 는 도형을 수로 대응하는 함수와 같고 넓이는 대응하는 함수값이다. 그렇다면 도대체 1 이란 무엇인가 ? 그것은 무엇이어도 상관 없다. 우리가 정한 어떤 단위(unit)이면 된다. 한 단위를 1로 표시하기로 했을 뿐이다. 센티미터(centimeter)일 수도, 인치(inch)일 수도, 척(尺)일 수도 있다.

직사각형의 넓이

위의 정의로 부터 4각형의 넓이는 쉽게 구해진다. 먼저 직사각형의 경우 단위 정사각형이이 가로로 몇 개 세로로 몇 개 있느냐로 결정할 수 있다. F가 직사각형이고 두 변의 길이가 a, b 로 되어 있으면,

$S(F)=a\cdot b$

평행사변형의 넓이

평행사변형은 한꼭지점에서 맞변(밑변)으로 수직인 선을 내렸을 때, 이루는 높이를 h , 그 밑변의 길이를 a 라 하면,

$S(F)=a\cdot h$

가 되는 것은 분명하다. 옆을 그림처럼 한꼭지점에서 내린 높이가 이루는 삼각형을 잘라 반대편에 붙이면 직사각형과 같기 때문이다. (더하기 공리) 두 면적이 같은 두 도형, 여기서는 직사각형과 평행사병형은 쪼개면 같은 조각으로 나뉜다. 이에 대해서 나중에 더 자세히 다룰 것이다.

삼각형의 넓이

밑변의 길이가 a, 높이가 h 인 삼각형의 넓이는 밑변의 길이가 a, 높이가 h 인 평행사변형 넓이의 반일테니까 다음과 같다.

$S(F)={\frac {a\cdot h}{2}}$

사다리꼴의 넓이

밑변의 길이가 b, 윗변의 길이가 a, 그리고 높이가 h 인 사다리꼴의 경우를 보자. 이 경우는 옆의 그림처럼 밑변이 a 이고 높이가 h 인 삼각형 하나와 밑변이 b 이고 높이가 h 인 삼각형으로 쪼개진다. 이 둘을 합한 넓일테므로, 더하기 공리에 따라, 사다리꼴의 넓이는

$S(F)={\frac {a\cdot h}{2}}+{\frac {b\cdot h}{2}}={\frac {(a+b)\cdot h}{2}}$

다른 다각형의 넓이

기초적인 다각형을 너머 더 일반화된 다각형으로 가보자.

• 볼록 다각형
• 변들이 주어진 원에 접한 다각형

곡선의 넓이

적분으로.

두 도형의 넓이 비교

어떤 두 도형이 있다하자. 넓이의 정의에 따르면 이 두 도형의 넓이는 둘 중 하나가 크거나 둘의 넓이가 같은 경우 세가지 밖에 없다. 이 중 여기서 우리의 관심은 '두 도형의 면적이 같은 경우'다. 두 도형의 면적이 같다는 것을 보이는 방법도 여러가지 있을 수 있다. 정의에 따라 계산하여 수로 바꾸어 보일 수 있다. 이것은 '계산 과정(computation)'을 따라야 한다. 그런데 넓이를 계산하는 수, 식이나 기술이 발전하기 전에도 사람들은 이미 두 도형의 면적을 비교할 줄 알았다. 더 '순수 기하학적인' 방법이라고 부를 수도 있겠는데, 어떤 방법이 있을까 ? 아래 내용은 같은 넓이를 갖는 다각형을 쪼객기 에서 더 자세히 다룬다.

어떤 하나의 다각형 $F_{1}$ 을 작은 조각으로 쪼개 붙였더니 다른 형태의 도형 $F_{2}$ 가 된다 하자. 물론 , 이때, 다각형 $F_{2}$ 를 쪼갰을 때, 도형 $F_{1}$ 을 얻을 수 있을 것이다. 이런 경우를 같은 조각으로 이루어진 다각형들 이라고 부르자.

정의 (같은 조각으로 이루어진 관계)  : 하나의 다각형을 유한개의 조각으로 쪼개어 붙였을 때 다른 다각형을 얻을 수 있다면 이 두 다각형은 '같은 조각으로 이루어진' 관계라 한다.

어떤 두 다각형 $F_{1},F_{2}$ 이 같은 조각으로 이루어져 있다면 우리는 이를 기호로 다음과 같이 쓰기로 하자.

$F_{1}\approx F_{2}$

같은 조각으로 쪼개질 수 있는 두다각형이 넓이도 같을 것이라는 것은 넓이의 정의에 따라 분명하다. 그렇다면 반대의 경우는 어떨게 될까? 다시 말해

면적이 같은 두 도형은 항상 같은 조각으로 쪼갤 수 있을까?

이 문제는 간단한 질문 같지만, 한때 심각한 주제였다. 이 문제 자체는 이미 19세기 초반 풀렸다. (이에 대해서는 차차 알아가기로 하자.) 그런데 문제는 평면이 아니라 3차원 공간에서, 다각형이 아니라 다면체 였다. 힐버트(D.Hilbert)가 제기했던 유명한 힐버트 문제들 세번째가 바로 그것이다.

부피가 같은 두 다면체는 항상 같은 조각으로 쪼갤 수 있을까?

이 문제는 다른 문제들보다 빨리 풀렸다. (해답은 ?)

아르키메데스

아르키메데스가 $\pi$ 근사값을 구하다. 관련 good 자료

응용 : 다른 관계를 보는 수단으로서의 넓이 개념

도형의 넓이 자체를 구하는 문제가 흥미로울 수도 있지만, 넓이는 도형들의 성질을 비교하는데 수단으로 쓰이기도 한다.

Note

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