Pythagoras Th

피타고라스 정리는 수학사에서 기념비적인 발견이다. 여러가지 말로 표현할 수 있다.

• 직각삼각형에서 직각의 맞변으로 이루는 정사각형은, 직각을 이루는 두 변들로 이루는 두 정사각형과 같다.
• 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다.
• 임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓의의 합과 같다.

어떤 표현방식이건 나타내는 진실은 같다. 예를들어, 오른쪽 그림과 같이 나타낼 경우, 무엇을 말하려고 하는 바는 분명하다.

어떤 삼각형 ABC 이든, 그것이 꼭지점 C 를 이루는 각이 직각인 삼각형이면, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

그 역도 성립한다. 다시 말해,

어떤 삼각형 ABC 이든, 변의 길이의 관계가 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 이면, 변 c 는 직각의 맞변이다.

수학자 중에서 대중들에게 가장 이름이 알려져 있는 사람이 피타고라스 일 것이다. 교과서에서 다른 정리에 대해서는 따로 이름을 짓지 않았는데, 이 정리만큼은 통용되는 대로 피타고라스 정리라 부르고 있기 때문이다. 그런데 아이러니 하게도 이 정리는 피타고라스가 최초로 발견한 것도 아니고, 피타고라스가 실제로 이것을 어떻게 발견하고 증명했는지에 대한 것도 모호하다. 이미 피타고라스 이전에 이집트, 바빌로, 중국 같은 고대의 여러 문명에서 이미 수천년 전부터 쓰고 있었고, 교과서에서 흔히 보는 증명은 유클리드의 Elements 를 따른다.

어쨌든 피타고라스 정리는 이제 뻔한 정리로 보일 수 있다. 우리가 흔히 배우는 증명들도 그리 어렵지 않다. 그런데도 수학사에서 가장 많은 증명이 있다. 어떠 이는 천 개니 어떤 이는 삼백 여개가 있느니 한다. 바로 지금 이 순간에도 새로운 증명을 시도하는 사람이 있을 것이다. 그리고 왜 그럴까? 이 정리의 무엇이 수많은 사람들을 유혹하는 것일까?

이렇듯 유명하디 유명한 피타고라스 정리에 대해 다시 알아보려고 한다. 그렇다고 새로운 증명을 시도한다거나 무슨 대단한 발견을 전달하지는 않을 것이다. 증명들을 모두 보고 싶은 생각도 없다. 모두는 커녕 고작 일부만 볼 것이다. 아래의 링크에 보면 멋진 그림들이나 증명들을 볼 수 있다. 우리의 목표는 분명하다. 피타고라스 정리를 공부하면서 "수학이란 무엇인가" 에 대해 함께 느낄 기회를 마련하고자 하는 것이다.

다음의 순서로 공부할 것이다. 정리의 기초 개념은 '넓이' 개념이다. '넓이'란 과연 무엇일까? 당연한 것으로 받아들였던 넓이 개념에 대해 짚어 본다. 피타고라스 정리의 증명에 대해서만 관심이 있거나, 굳이 기초 개념까지 관심이 없는 사람은 건너 뛰어도 무방하다.

'넓이' : '넓이'란 무엇인가, '넓이'를 비교함.

피타고라스 정리의 다양한 증명들을 본다. 증명이 많이 있다는 것을 아는 것은 중요하지 않다. 그리고 그것들을 나열식으로 하나씩 짚어가는 것도 지루한 일일 뿐이다. 가우스가 말했듯, 다른 좋은 증명은 그 수학적 사실을 다른 측면에서 들여다보게 해준다. 그래서 진리의 다른 면을 보게 해주기도 한다. 여기서는 소박하나마 여러 증명들을 묶어보고, '그 안에 그리고 그 밖에' 어떤 생각들이 관통하고 있는지에 집중할 것이다. 증명이 새로운 문제들을 낳기도 할 것이다. 증명마다 다른 수학적 도구들이 쓰이고 있지만, 첫단계로는 가장 직관적인 방법이라고 할 수 있는 '자 봐라' 라는 idea가 관통한 두 접근 방법을 본다. 하나는 '조각내서 짜맞춰가며' 비교해는 방법이고, 다른 하나는 '보탠 다음 덜어내가면서' 비교하는 방법이다.

쪼개어 조각 맞추기로 증명

보태서 덜어내기로 증명

잠시 피타고라스 증명이 아닌 다른 문제로 벗어났다가 돌아오기로 하자. 피타고라스 정리의 증명 방법 중 크게 나누어 두 방법을 앞에서 했다. 이 두 방법에서 흥미로운 문제가 생긴다. 같은 조각으로 이루어진 다각형은 넓이가 같을 수 밖에 없다는 것은 '넓이'의 개념에서 자연스럽다. 그렇다면 그 역은 ? 다시 말해 넓이가 같은 두 다각형은 항상 같은 조각으로 쪼개질 수 있을까? 이 부분도 피타고라스 정리에 대해서만 관심 있는 사람은 건너 뛰어도 된다.

같은 조각으로 이루어짐 : 같은 조각으로 이루어진 두 도형 : 넓이와 구성의 등가성.

앞의 두 방법이 아닌 다른 방법들이다. 먼저, 교과서에서 흔히 다루는 유클리드의 'Elements'에 나오는 방법을 본다. 유클리드 증명은 매우 독창적이고 수학적이다. 이 증명 방법과 이 증명이 뜻하는 바가 무엇인지 살펴 본다. 아울러 이 증명에서 그은 보조선들을 가지고 놀면서 그 도형들 사이에 어떤 관계가 있는지 돋보기를 들이댈 것이다. 다름으로는 이제까지의 방법들이 아닌 새로운 형태의 증명들을 본다. 유클리드 증명까지 증명들의 공통점은 어쨌든 주어진 정삼각형의 변들로 정사각형을 작도한 다음 보조선을 그어 다각형의 합동 정리를 써서 증명한 것이다. 여기서는 그런 '제약'들을 털어버리고 보다 자유롭게 사고할 것이다. 새로운 수학적 개념들이 끼어들어오기도 한다.

유클리드의 증명

다른 증명들  : 다른 개념들의 도움을 받아서 증명 : '닮음', 대수적 개념 등.

피타고라스 정리를 여러 방식으로 증명해보았다. 다시 정리 자체로 돌아가자. 피타고라스 정리는 여러 조건을 가지고 있다. '직각삼각형'에서 변마다 '정사각형'을 쌓을 경우 그것들이 이루는 '넓이들끼리의'에 대한 관계다. 또는 변들의 길이에 대한 관계다. 이제, 이런 조건들을 완화해가거나 변형하면 어떻게 될까? 꼭 직각삼각형이 아니고 어떤 삼각형이든 상관없다면? 또 정사각형 처럼 엄격한 조건을 갖는 도형을 올리는게 아니라 그것보다는 덜 까다로운 도형을 올리면 넓이들의 관계는 어떻게 될까?

피타고라스 정리의 일반화 : 파푸스 정리 , 코사인 법칙

피타고라스 정리를 요모조모 보면서 언뜻 빼놓고 보기 위운 조건이 있다. 너무 기본적인 전제라 관심을 놓았기 때문인데, 바로 '유클리드 평면'에서 이 성질이 성립한다는 것이다. 유클리드 공간이라는 전제를 바꿔보면 어떻게 될까? 유클리드적인 공간에서 차원을 넓혀 생각해볼 수 있고, 또는 유클리드 공간보다 일반화된 공간에서는 어떻게 될까 ? 이 문제는 elementary 한 범위를 벗어나지만 평면 자체에 대해 도대체 그것이 무엇인지 다시 들여다 보는 기회가 될 것이다.

다른 공간에서의 피타고라스 정리

엉뚱한 질문같지만, 도대체 왜 피타고라스 정리를 공부하는 것일까? 좋다, 정리가 하는 말과 증명을 이해했다. 그래서 어쨌다는건가? 라고 물을 수 있다. 거기에 대해 이야기해보자. 아울러 순수하게 기하학적인 문제였던 피타고라스 정리가 어떻게 수론, 대수, 해석학적인 문제로 '변형' 되면서 새로운 씨앗을 뿌렸는지도 보자.

피타고라스 정리의 응용과 발전

Link

• wiki common, 피타고라스 정리 증명 그림들
• Cut-the-knot 에 실린 증명들
• 수학사랑
• 바당 홈페이지