Squaring Circle

작도 가능 으로

원과 면적 같은 정사각형 작도의 고전-근대의 해법

고전적 3대 작도 문제 중 지금까지 알려진 가장 오래된 작도 문제이고 가장 늦게 그 작도 불가능성이 증명된 주제가 '원과 면적이 같은 정사각형 또는 그 역의 작도 가능' 문제다. 고대 인도의 신전이나 제사에 대한 경전인 《슈르바수트라(祭壇經)》에 따르면, 그 신전에는 다양한 문양이 있었는데 그 문양의 면적이 모두 같아야 했다고 한다. 길게는 BC 7 세기 이전으로까지 거슬러 올라가는 인류 역사상 가장 오래된 문제들 중 하나다. 고대 인도인들이 '원-정사각형' 문제에 맞딱드리지 않을 수 없었다는 것은 불을 보듯 뻔하다. 그리고 신전을 안짓지는 않았을것이므로 어떤 방법으로건 해법을 가지고 있었을 것이다. 우선 고대 인도인들의 '경험적(heuristic)' 해법을 보고 고대 그리스, 다음 근대로 시대를 거슬로 오늘날로 가까이 오면서 인류 지성의 발자취를 더듬어보자.

고대 인도인들의 해법

고대 인도 사람들이 적용했던 해법 중 하나는 이렇다고들 전한다.

정사각형 $\Rightarrow$ 원 : 정사각형이 주어졌을 경우 면적이 같은 원 작도하기.

한 변이 a 인 정사각형의 외접원을 그려 중심 O 에서 한 변에 수직인 선을 그어 변과 만나는 점을 A, 원과 만나는 점 B를 잡는다.
그렇다면 $|\ AX\ |\ :\ |\ XB\ |\ =\ 1:2$ 인 관계가 성립하는 점X를 얻는다.
OX를 반지름으로 하는 원을 그리면 된다.
이에 따르면 반지름 r 은 $a\left({\frac {2+{\sqrt {2}}}{6}}\right)$ 가 된다. 그렇다면 고대 인도 사람들은 원의 둘레와 선분인 그 원의 반지름의 관계로 신비의 수인 $\pi$ 를 $2\left({\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}\right)$ 로 3.088정도로 본 것이다. 실제와 소수점 두자리 이하부터 차이가 생긴다. 수천년전의 추측이라고 생각하면 놀랍도록 정밀한 결과라 할만하다. (신전을 그려서 문제 삼을 만한 사람은 없었을 것 같다.)

원 $\Rightarrow$ 정사각형 : 원이 주어졌을 경우 면적이 같은 정사각형 작도하기.

고대 인도인들이 이 문제에 대해서 어떤 마땅한 해법을 가졌는지 지금은 알려져 있지 않다. 위의 방법으로부터 거꾸로 오면서 계산으로 해결한 듯하다. 앞에서 원의 지름 d 과 정사각형의 한 변의 길이 a 의 관계는

{\frac {d}{a}}=\left({\frac {2+{\sqrt {2}}}{3}}\right)

라는 점을 주목하자.

그리고는 역으로 추정해간다. 오늘날의 표현법으로 나타내면 그 관계는 이렇게 쓸 수 있다. 우선 고대 인도인들은 ${\sqrt {2}}$ 를 유리수꼴로 나타내고 쓰고 있었는데 그 수는

{\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}

로 이는 소수점 6자리까지 같다 ! 이것을 위에 적용하면서 수의 배열을 조정해서,^[1]

a=d\left(1-{\frac {28}{8\cdot 29}}-{\frac {1}{8\cdot 29\cdot 6}}+{\frac {1}{8\cdot 29\cdot 6\cdot 8}}\right)

로 계산하여 주어진 원의 지름으로부터 작도할 정사각형의 a 를 얻어낸 것이다. 여기서 핵심은 물론 $\pi$ 를 얼마나 자와 컴퍼스를 써서 근사적으로 나타내느냐에 달려 있었고 이것이 작도 가능하냐 아니냐가 사실 원-정사각형 문제의 작도 가능 불가능을 가르는 열쇠였다. 고대 이집트에서도 위와 같이 건축이나 문양설계을 비롯한 여러 필요에 따라 $\pi$ 계산을 하여야 했다. 뿐만 아니라 고대 중국도 마찬가지고 수천년이 흐른 중세에도 어떻게 실제값에 더 가깝고도 복잡하지 않은 값을 나타낼 것인가 탐구해왔다. 유리수로 표현해왔다. 지금은 $\pi$ 가 무리수고 그 중에서도 초월수라는 것이 밝혀진지 오래되었지만, 여전히 그 후에도 근사적 유리수로 나타내보는 것은 흥미거리 중 하나다. 20세기 초 사람의 인도의 수학천재였던 라마누잔 도 근사적인 유리수를 탐구했다.^[2]

고대 그리스 해법 1 : 근사치를 작도함

고대 그리스 시대에 있었던 여러가지 시도들을 보자. 비록 엄격하게 보면 이런 시도들은 맞다고 할 수 없지만, 이미 그 당시에 근대 수학에서 중요한 개념인 '수렴'에 대한 중요한 첫 발을 내디디고 있다는 사실을 알 수 있다.

가장 기초가 되는 작도 : 다각형과 면적이 같은 정사각형 작도

먼저 기초가 되는 중요한 작도를 먼저 보자. (각 단계를 직접 작도해보라.)

모든 다각형은 면적이 같은 정사각형으로 바꿀 수 있다.
- 모든 다각형을 삼각형들로 쪼갠다 : n 개의 삼각형으로 쪼갠다고 하자.
- 삼각형마다 면적인 같은 직사각형으로 작도한다 : 작도된 직사각형의 변들을 (a, b)의 형식으로 쓴다면, ( $a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),...,(a_{n},b_{n}$ ) 일 것이다.
- 직사각형 마다 면적이 같고 한 변이 c인 직사각형으로 작도한다 : ( $c,d_{1}),(c,d_{2}),...,(c,d_{n})$
- 한 변이 c인 직사각형들을 차곡차곡 쌓으면 $(c,d_{1}+d_{2}+\cdots +d_{n})$ 인 직사각형이 나온다.
- 직사각형을 정사각형으로 작도한다.

직사각형에서 면적이 같은 정사각형으로 작도하는 것은 고대 그리스 이전인 고대 인도의 《슈르바수트라(祭壇經)》와 유클리드의 원론의 작도 내용은 조금 다르지만, 증명은 비슷하다. 따라서 원과 면적이 매우 비슷한 다각형을 작도할 수 있으면 그것으로부터 그 다각형과 면적이 같은 정사각형을 작도할 수 있게 된다. 거꾸로, 정다각형이 주어지면 그것을 직사각형, 그 직사각형을 마구 쪼개서 모양이 들쑥날쑥인 직사각형들고 바꾸고 마침내 그 파편들과 면적이 같은 저마다의 삼각형으로 한다음 퍼즐 맞추듯이 해가면서 원과 아주 닮은 형태의 다각형을 얻는다.

고대 그리스의 근사적 해법

아낙사고라스(Anaxagoras;499 BC - 428 BC) : 플라톤에 따르면 그가 '원과 면적이 같은 정사각형 작도'의 해법이 있다고 하나, 오늘날 전하지 않는다.
안티폰(Antiphon;480 BC - 411 BC)의 해법 : 주어진 원에 내접하는 정사각형을 작도하고, 정사각형에서 8각형, 16각형, ... 으로 작도해가다보면 어떤 정다각형에서 원과 같아진다고 여겼다. 이 방법은 동시대인들에게 바로 비판을 받았는데 왜냐하면 원과 다각형이 같다고 내포하고 있으므로 이는 도형의 분류에 대한 기본 전제를 무시하기 때문이었다.

브리존(Bryson;450 BC - 390 BC)의 해법 : 주어진 원에 내접하는 정사각형과 외접하는 정사각형의 사이라고 여겼다. 그리고 안티폰의 정다각형의 면적은 원보다 작을 수밖에 없으니 주어진 원에 외접하는 정다각형을 작도하면 그 사이 값이라고 주장했다. 그러나 '그 사이'를 어떻게 작도하느냐에 대해서는 알려지지 않았다.

아르키메데스(Archimedes;287 BC - 212 BC)의 $\pi$ 연구 : 아르키메데스는 브리존의 사고를 발전시켜 원의 둘레와 지름과의 관계에 대한 정리를 이끌어낸다. 그는 6각형으로 시작해서 96각형까지의 다각형의 내접원과 외접원을 연구하여 얻었다. 아르키메데스의 저서 '원의 측정'에 따라, 그 정리를 현대적 용어로 바꾸면

P-3d<{\frac {1}{7}}d

이고

P-3d>{\frac {10}{71}}d

이다. 따라서

3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}

프톨레미우스(Ptolemy;AD 85 - 165) 의 $\pi$ 연구 : 별들의 관계를 기하학적 관계와 그 운동으로 연구한 유명한 저서 '8권으로 된 천문학의 위대한 수학적 구성'( 아랍화 된 제목 '알마게스트'로 더 잘 알려졌다) 에 60진법으로 $\pi$ 값을 밝혔다.

\pi =3.8'30''=3+{\frac {8}{60}}+{\frac {30}{60^{2}}}=3{\frac {17}{120}}

으로 아르키메데스보다 더 정밀한 값을 냈다.

히포크라테스의 초승달 모양 해법

이미 '큐빅의 부피를 두배로하는 큐빅' 작도에서 나온 키오스의 히포크라테스(Hippocrates;470 BC - 410 BC)는 원과 정사각형 문제에도 관심을 가졌다. 그는 다음과 같은 흥미로운 사실을 발견한다. ^[3] 옆의 그림 'Hippocrates 초승달'을 보고 증명해보라.

삼각형 OCB의 면적 = 초승달 모양 CEBD의 면적

놀랍게도 정사각형의 네조각 중의 하나인 삼각형과 원의 한 호로 이루어진 초승달 모양 부분의 면적이 같다. 이 사실은 직사각형이 주어지면 원-직사각형 문제를 풀 수도 있을 것 같은 느낌을 강하게 준다. 히포크라테스는 거기서 한발 더 나아가, 다음의 사실을 보인다.

반원 ACB의 면적 = 사다리꼴 AFKD 의 면적 - 세 초등달의 합과 면적이 같은 정사각형의 면적

이것이 옳다면 원의 면적과 같은 정사각형을 작도할 수 있을 것이다. 아래 증명을 보자.

반원 ACB가 있다고 하자. 원 $\Sigma (B,|AB|)$ 과 직선 AB가 만나는 점 D를 얻는다.
원 $\Sigma (A,|AB|)$ 와 원 $\Sigma (B,|AB|)$ 이 만나는 점 F를 얻는다.
원 $\Sigma (D,|AB|)$ 와 원 $\Sigma (B,|AB|)$ 이 만나는 점 K를 얻는다.
선분 AF를 지름으로 하는 반원 ALF을 그린다. 마찬가지로 반원들 FMK, KND을 작도한다.
자, 이제 원과 같은 면적의 정사각형을 작도할 수 있다는 것을 '증명'할 차례다. 정신을 바짝차리고 보라.
- | AB | : | AD | = 1 : 2 이므로 ' 반원 ACB 면적 : 반원 AQD 면적 = 1 : 4
- 반원들 면적의 합 ACB + ALF + FMK + KND = 반원 AQD 면적
- 초승달 모양들 ALFP + FMKQ + KNDR 의 면적의 합 + 반원 ACB 면적 = 사다리꼴 AFKD 의 면적
- 반원 ACB 면적 = 사다리꼴 AFKD 의 면적 - (초승달 모양들 ALFP + FMKQ + KNDR 의 면적의 합)

우리는 앞에서 초승달 모양의 면적은 직각삼각형과 같은 것을 작도할 수 있으므로 초승들 모양들 ALFP + FMKQ + KNDR 과 같은 면적을 같는 직각 삼각형 셋을 작도 할 수 있고 따라서 위의 '다각형을 정사각형으로 작도하기'에 따라

반원 ACB의 면적 = 이등변사다리꼴 의 면적 - 어떤 정사각형의 면적

을 작도한 것이다. 따라서 주어진 원이 있으면 면적이 같은 정사각형을 작도할 수 있다. 증명 끝. 이 증명은 옳은가?

이 증명에 대해 이미 고대 그리스 시대, 아리스토텔레스(Aristotle;384 BC - 322 BC)와 유데무스(350 BC - 290 BC)가 모두 오류라고 비판하였다. 그렇지만, 역사가들 중에는 기하학에 놀라운 재능을 보였던 히포크라테스가 '몰라서' 그렇게 한 것이 아니라, 만약 정 6각형에서 초승달 모양을 '정사각형화'하는게 가능하면 원-정사각형 작도 문제도 풀릴 것이다. 라고 한 것으로 보는 경우도 있다. 이는 마치 큐빅 2배로하는 문제에서 히포크라테스가 했던 것과 비슷하다. Doubling the Cube 에서 3차원 공간의 문제를 히포크라테스가 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 의 비례 관계를 찾는 2차원의 문제로 단순화 했듯 여기서도 원-정사각형의 문제를 사다리꼴에서 '초승달 모양' 작도 문제로 환원한 것으로 본 것이다.

두 경우 모두 논리적으로 보면 단순하다. 히포크라테스는 'P 이면 Q 다.' 라는 사실을 보여줌으로써, 우리가 찾고싶었던 Q (원과 면적이 같은 정사각형을 작도할 수 있다. 또는 정육면체의 부피가 두배가 되는 정육면체를 작도할 수 있다.) 라는 사실을 풀기 위해서 P 만 찾으면 된다고 문제를 약간 바꾸어 생각한 것이다. Q 의 필요조건인 P 만 찾으면 되었기 때문에 Q 를 직접 밝혀도 되지만, 대신 P 를 찾아도 충분하다. 하지만, P 를 해결하려던 노력은 번번이 수포로 돌아갔던 것이다.

다시 원-정사각형 문제로 돌아가자. 히포크라테스의 '초승달'에 대해 무엇을 이야기하였는가? '정사각형의 한변에서 결정되는 초승달'과 '정 육각형의 변에서 결정되는 초승달'을 보았을 뿐이다. 첫번째 경우는 초승달의 면적과 정사각형의 면적이 같을 수 있다고 확인했다. 이를 바탕으로 두번째 경우에서 주어진 원의 면적이 정6각형의 면적에서 몇 개의 초승달의 면적을 뺀 것과 같다는 것을 본 것이다. 하지만, 이때의 초승달의 면적과 같은 정사각형을 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다고 말할 근거는 없었다.

어쨌든 이것이 초승달 연구의 종점이 아니라는 것은 분명하다. 왜냐하면 초승달 모양의 도형과 연관된 흥미로운 문제들을 얼마든지 던져볼 수 있기 때문이다. 예를들어,

작도 가능한 어떤 정 n 각형과 연관된 '정사각형화 할 수 있는 초승달'을 작도할 수 있지 않을까?

이처럼 초승달 모양의 도형과 익숙한 기초적인 도형들의 기하학적 관계에 대해 밝혀보는 기하학 연구는 따로 볼만한 새롭고 흥미로운 주제다.

고대 그리스 해법 2 : 디노스트라투스-파푸스 해법

히피아스(Hippias ; 460 BC - 400 BC)가 각의 삼등분 문제를 해결하기 위해 도입하였고 (그 자신이 증명을 했는지 분명하지 않지만) 디노스트라투스(Dinostratus;390 BC - 320 BC)가 원과 같은 면적의 정사각형 작도 문제에 적용했다고 전해진다. 디노스트라투스가 남긴 기록도 발견되지 않았고 대신 그로부터 육 백 여년이 흘러 파푸스(Pappus;AD 290 - 350)의 기록으로 전해져 온다. 어쨌든 옆의 그림처럼 복잡한 선^[4]을 '디노스트라투스의 quadratrix라고 부른다. 오른쪽 그림에서 빨간 줄을 뜻한다.

정의 (디노스트라투스 quadratrix) : 주어진 사각형 ABCD에서 선분 BC가 평행하게 AD를 향해 내려오고 (파란줄) AB반지름으로 하는 반직선이 AD로 시계 방향으로 회전하면서 90도 내려오는데(녹색줄), 함께 시작해서 함께 끝나도록 같은 속도로 내려올 때, 교점들의 좌표를 ' 디노스트라투스 quadratrix' 라 한다.

정의에서 보듯이 이 작도를 위해서는 '움직임'의 개념이 들어간다!

선분 AD와 quadratrix가 만나는 점이 있을 텐데, 그 점을 K 라고 하자. 그럴 때, 호 BD와 우리에게 알려진 선분들 AB, AK와는 다음 관계가 성립한다.(왜 그럴까?)

|\ {\widehat {BD}}\ |={\frac {|AB|^{2}}{|AK|}}

원의 면적은 원의 둘레의 반에 반지름을 곱한 값이므로 ^[5]

\pi \cdot |AB|^{2}={\frac {1}{2}}\cdot (4|\ {\widehat {BD}}\ |)\cdot |AB|={\frac {1}{2}}\cdot \left(4{\frac {|AB|^{2}}{|AK|}}\right)\cdot |AB|

.

따라서 선분 AK 만 주어지면, 원 $\Sigma (A,|AB|)$ 과 면적이 같은 직사각형으로 ( $4{\frac {|AB|^{2}}{|AK|}},{\frac {|AB|}{2}}$ )를 작도한 다음 그 직사각형과 면적이 같은 정사각형을 작도하면 된다.

다시 말해 우리가 quadratrix를 그릴 수 있는 '확장된 복잡한 도구'를 쓰면 원-정사각형 문제는 작도 가능하다. 그런데 문제가 그리 간단히 끝나지 않았다. 왜냐하면 '작도'는 다음과 같은 비판을 받게 된다.

첫째, 같이 시작해서 같이 끝나려면 $|\ {\widehat {BD}}\ |:|AB|$ 에 대한 관계가 파악되어야 속도를 조절할 수 있다. 이는 호와 반지름과의 관계, 다시 말해 원의 둘레와 반지름과의 관계를 파악했을 때만이 가능하다. 다시말해 $\pi$ 의 비밀을 알고 있어야 '같은 속도로 내릴 수 있을 테니, 벌써 '원-정사각형' 문제가 풀렸다고 가정하고 시작하였다.
둘째, 설령 같은 속도로 내릴 수 있다고 해도, 우리는 K를 영원히 찾을 수 없다. 아주 근사적으로는 찾을 수 있겠지만 두 선분 AB, BC가 선분 AD에 가까이 갈 수록 '거의' 겹치게 되고 마침내 AD에 이르렀을때는 완전히 겹친다. K가 어디에 있는지 어떻게 찾는단 말인가? 이 문제를 해결하기 위해서는 '수렴'에 대한 개념이 제대로 서 있어야 가능하다. ^[6]

이 비판은 불을 보듯 확실히 타당하다. 따라서 디노스트라투스-파푸스 해법을 받아들이기 위해서는 같은 quadratrix를 그리면서 위의 두 문제를 피해갈 수 있는 정의가 필요하다. 다시 말해 quadratrix를 그릴 '엄격한 작도'를 어떻게 할 것인가 하는 문제가 새롭게 제기된다.

Q : 디노스트라투스-파푸스 quadratrix 해법으로 '각의 삼등분' 문제를 풀어보라.

고대 그리스 해법 3 : 아르키메데스 회오리

아르키메데스는 '움직임'의 새로운 개념을 써서 '회오리'모양의 선을 생각해내고 이로써 '원-정사각형' 문제를 해결한다. 아르키메데스 회오리의 현대적 정의는 다음을 참고하라. : 아르키메데스 회오리

이 정의에서도 움직임 개념이 중요하게 작용하고 있다. 아르키메데스는 컴퍼스로, '같은 정도로' 반지름을 줄이면서 나오는 선을 보다가 거기서 특별한 성질이 있음을 발견하고 '회오리'에 대한 '이론'을 정립해갔다고 한다.

정의 ( 아르키메데스 회오리 ) : 원의 중심에서 반직선

l

이 회전한다. 그 반직선과 원의 교점X가 회전과 같은 속도로 반직선을 따라 중심을 향해 이동하면서 생긴 점들의 흔적을 아르키메데스 회오리라 한다.

옆의 그림처럼 정의에서 말한 반직선 회전과 원에서 중심으로 내려오는 속도가 같다면 태극 모양의 선만 남길 것이다. 만약 반직선 $l$ 이 두 번 회전해야 교점 X가 중심에 이른다면 그만큼 회오리도 잦게 된다. 다시 말해 속도의 관계에 따라 회오리의 물결의 빈도가 달라진다.

이 회오리를 이용하여 아르키메데스는 다음과 같은 정리를 낸다. 오른쪽 '원-정사각형의 해법' 그림을 보자. 그림에서 점 A는 원의 어떤 점이고 반직선 OA와 점 A에서의 접선과의 교차점을 B라 한다. 그럴 때 원의 둘레는 선분 OB의 길이와 같다.

아르키메데스의 회오리 정리 :

|OB|=|\Sigma (O,|OA|)|

이 정리를 엄격하게 증명하는 것은 상당히 길고 다른 여러가지 정리가 쓰인다. 가장 기초가 되는 정리를 보고 간단하게 증명의 틀만 보도록 하자. 아르키메데스 회오리에 대한 앞의 정의에 따르면, 원의 둘레를 도는 속도와 반직선을 따라 흐르는 점 x 의 속도가 같다. 따라서 다음의 성질을 알 수 있다.

기초정리 : 호 AP의 길이 : 선분 PQ = 원의 둘레 : 원의 반지름

엄격하게 증명하지 않고 직관적으로 이해할 수 있을 정도에서 대충 아르키메데스의 회오리 정리의 증명을 보도록 하자.

점 A의 '가까이' 원에 속하는 점 P를 얻는다.
반직선 OP와 반직선 $l$ 의 교점 (원 밖의 회오리) 을 Q를 얻는다.
위의 기초정리에 따라 P가 A에 가까와질수록, 호와 AP의 선분은 거의 같아지므로, 선분 AP의 길이 : 선분 PQ 비례관계는

|AP|:|PQ|\approx 2\pi

그리고 선분 AP는 선분 BO에 평행해지는 방향으로, 선분 PQ는 AO에 평행해지는 방향으로 접근한다.
그렇다면 선분 AQ는 직각삼각형의 빗변인 AB에 평행해지는 방향으로 접근한다.
다시 말해 삼각형 APQ는 BOA에 닮아간다.
앞에서 선분 AP의 길이 : 선분 PQ 비례관계는 $2\pi$ 에 가까와진다고 하였으므로, 닮음 성질에 따라

|BO|:|AO|\approx 2\pi

점 A에서 '수렴값'으로 | BO | : | AO |는 $2\pi$ 가 된다.

'아르키메데스의 회오리 정리'에 따라 이 원의 면적은 이 | OB | 를 밑변으로 하고 원의 반지름 | OA |를 높이로 하는 삼각형의 면적과 같다. 따라서 그 삼각형을 작도하고 그 삼각형과 같은 면적을 가진 정사각형을 작도하면 된다.

아르키메데스의 회오리는 '개념적'인 것인데, 이를 어떻게 '구현'할 수 있을까? 다시 말해 아르키메데스 회오리를 '작도' 할 수 있는 도구는 어떤 것이 있을까? ^[7]

보완할 것

삼각형에서 직사각형 작도, 직사각형에서 주어진 한 변을 a로 하는 면적이 같은 직사각형 작도, 직사각형에서 면적 같은 정사각형 작도하기.
디노스트라투스-파푸스의 $|\ {\widehat {BD}}\ |={\frac {|AB|^{2}}{|AK|}}$ 관계 증명과 comment (!)
quadratrix의 엄격한 정의
quadratrix를 이용한 각의 삼등분 문제 해결.
회오리, 아르키메데스 회오리의 성질
초승달 문제의 연구 역사를 되짚어 보기.

Note

↑ 여기서 잠깐 멈추고 《슈르바수트라(祭壇經)》에 따라 고대 인도인들이 $\pi$ 를 계산했던 방법을 보자. 앞의 ${\frac {d}{a}}=\left({\frac {2+{\sqrt {2}}}{3}}\right)$ 에 ${\sqrt {2}}$ 를 넣어보면
${\frac {d}{a}}={\frac {2+{\sqrt {2}}}{3}}={\frac {1393}{1224}}=1-{\frac {169}{1393}}=1-\left({\frac {1}{8}}-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {169}{1393}}\right)\right)=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot {\frac {41}{1393}}\right)=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot \left({\frac {1}{29}}-{\frac {1}{29}}\cdot {\frac {204}{1393}}\right)\right)$
$=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot \left({\frac {1}{29}}-{\frac {1}{29}}\cdot \left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {169}{1393}}\right)\right)\right)=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot \left({\frac {1}{29}}-{\frac {1}{29}}\cdot \left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}\cdot \left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot {\frac {41}{1393}}\right)\right)\right)\right)$
나머지는 반복된다. 분모를 1393으로 하는 마지막 부분을 빼면 a를 구하는 식이 된다. 여기서 앞의 ${\frac {41}{1393}}$ 부분에서 더 근사적인 유리수는 분모 29대신 분모 34인 것이 자연스러운데 29를 썼다는 점이다 (왜 그랬을까?) 다시 말해,
${\frac {41}{1393}}=\left({\frac {1}{34}}-\left({\frac {1}{34}}-{\frac {41}{1393}}\right)\right)=1-\left({\frac {1}{34}}-{\frac {1}{34}}\cdot {\frac {1393-34}{1393}}\right)$
↑
$\pi$ $\pi$ 의 역사는 길고 길다. 이에 대해서는 따로 책을 써야할만큼 큰 주제다. 참고할만한 웹 자료.
↑
다음 내용에 주의.
Hippocrates 초승달
- 첫째, 우리의 키오스(Chios;또는 히오스) 지방의 히포크라테스는 의학 선서로 유명한 코스(Cos)의 히포크라테스가 아니다.
- 둘째, 엄격한 뜻에서 달조각이 아니다. 초승달은 달에 지구의 그림자가 가린 것이다. 따라서 달이라는 구에 지구의 projection이고 따라서, 원형과 타원의 교집합이기 때문이다.
- 세째, 위의 두가지를 엄격하게 하지 않고 양보한다고 해도 앞에서 말한 정리를 '히포크라테스의 초승달 정리' 라고 말할 때는 조심해야 한다. 정리의 형태로 된 것은 아랍의 11세기 초 이븐 알하이탐이 일반적인 정리를 발견하였다고 한다. 그후 17세기 중반, 프랑스의 수학자들도 발견하였다. 히포크라테스는 특수한 몇가지 경우에 대해서만 발견하였다.
하지만, 여기서는 그냥 히포크라테스의 초승달 정리하고 하자.

(히포크라테스 초승달 정리) : 직각삼각형 ABC 가 있다. 변에 오른쪽 그림처럼 반원을 작도할 때, 빗변에서 이룬 반원의 넓이는 다른 두 변에서 이룬 반원의 넓이의 합과 같다.

증명은 간단하다. 다음 질문에 답하라.
- 직접 증명해보라.
- 꼭지점 C에서 세원이 정말 만날까?
- 이와 관련해서는 피타고라스 정리의 일반화 중 닮은 도형 부분을 참고하라.
↑ 이런 류의 문제는 '자와 컴퍼스'로 풀 수 없는 영역으로 인식되었고 따라서 직선이나 원 보다 '복잡한 선'을 필요로 한다고 고대 그리스 사람들은 이미 짐작하고 있었다. 이런 기록이 파푸스의 저서에 남아 있다고 한다.
↑ 이 정리는 '아르키메데스' 가 발견하여 저서에 남긴 것이다.
아르키메데스 정리 : 원의 면적 = 원의 둘레와 같은 길이의 밑변과 원의 반지름과 같은 높이를 가진 삼각형의 면적
그런데 디노스트라투스는 아르키메데스보다 몇 백년 전 사람인데 어떻게 이 정리를 썼을까? 가능성은 둘 중 하나다. 그가 살던 당시 증명은 하지 않았지만 이 사실을 이미 알고 쓰고 있었거나, 아니면 그는 다르게 증명했는데 아르키메데스보다 수백년 뒤의 사람이 파푸스 이 정리를 써서 증명했을지도 모른다. 아르키메데스의 저작은 많이 손상된 채로 발견되어서 이 사실에 대한 부분이 사라졌기 때문에 아직까지 짐작만 해 볼 수 있을 따름이다.
↑ 앞에서 브리존 이후 아르키메데스가 $\pi$ 에 대한 성질을 볼 때도 그랬지만, 이미 고대 그리스에는 '수렴'에 대해 더 엄밀하게 정의하도록 필요성이 높아갔다. 그 당시 방정식과 함수와 같은 대수적 언어가 발달했다면 충분히 가능했을 것이다. 그러나 고대 그리스에서 기하학이 발달한 역사를 보면 '종합적(synthetical)' 사유가 중심이 되었다. 나중에 대수적인 언어와 좌표축을 이용해서 수학이 '분석적(analytic)' 방향으로 발달하면서 '수렴'과 같은 근대 이후 수학의 핵심적 역할을 한 개념이 비로소 엄밀하게 정의된다.
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Huygens's sprial Instrument
(읽지 않아도 됩니다. 아직 이해가 안가는데 나중에 알아보려고 옮겨 둔 부분입니다.) 아르키메데스의 회오리를 연구하고 '도구'를 발명한 사람은 네델란드의 휴겐스(Christiaan Huygens ; 1629-1695)라고 전해진다. (1650년 전후) 그는 추가 달린 시계를 발명한 사람이기도 하다. 이 도구에서 '직각'인 부분이 중요한 역할을 하는데 데카르트는 '곡선'으로 대체될 수 없는 것으로 여겼다. 이와 관련하여 회오리와 같이 도구를 써서 작도해야하는 복잡한 곡선의 호의 길이를 대수적으로 나타낼 수 없다고 믿었다. 데카르트 사후 8년이 흐르고(1658) y^{2} = x^{3}인 곡선의 'algebraic flattening( cut-off) 를 세 명의 수학자들이 발견했다.(네일, 헤이라트, 페르마) 이 사실은 당시 수많은 수학자들 뿐만 아니라 증명한 사람 자신들도 이런 수학적 사실에 놀랐다고 전해진다.

[1] 여기서 잠깐 멈추고 《슈르바수트라(祭壇經)》에 따라 고대 인도인들이 $\pi$ 를 계산했던 방법을 보자. 앞의 ${\frac {d}{a}}=\left({\frac {2+{\sqrt {2}}}{3}}\right)$ 에 ${\sqrt {2}}$ 를 넣어보면
${\frac {d}{a}}={\frac {2+{\sqrt {2}}}{3}}={\frac {1393}{1224}}=1-{\frac {169}{1393}}=1-\left({\frac {1}{8}}-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {169}{1393}}\right)\right)=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot {\frac {41}{1393}}\right)=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot \left({\frac {1}{29}}-{\frac {1}{29}}\cdot {\frac {204}{1393}}\right)\right)$
$=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot \left({\frac {1}{29}}-{\frac {1}{29}}\cdot \left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {169}{1393}}\right)\right)\right)=1-\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot \left({\frac {1}{29}}-{\frac {1}{29}}\cdot \left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}\cdot \left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{8}}\cdot {\frac {41}{1393}}\right)\right)\right)\right)$
나머지는 반복된다. 분모를 1393으로 하는 마지막 부분을 빼면 a를 구하는 식이 된다. 여기서 앞의 ${\frac {41}{1393}}$ 부분에서 더 근사적인 유리수는 분모 29대신 분모 34인 것이 자연스러운데 29를 썼다는 점이다 (왜 그랬을까?) 다시 말해,
${\frac {41}{1393}}=\left({\frac {1}{34}}-\left({\frac {1}{34}}-{\frac {41}{1393}}\right)\right)=1-\left({\frac {1}{34}}-{\frac {1}{34}}\cdot {\frac {1393-34}{1393}}\right)$

[2] $\pi$ 의 역사는 길고 길다. 이에 대해서는 따로 책을 써야할만큼 큰 주제다. 참고할만한 웹 자료.
위키페디아

파이의 역사

내 생일은 pi안에 들어 있을까?

[3] 위키페디아

[4] 파이의 역사

[5] 내 생일은 pi안에 들어 있을까?

[3] 다음 내용에 주의.
Hippocrates 초승달

첫째, 우리의 키오스(Chios;또는 히오스) 지방의 히포크라테스는 의학 선서로 유명한 코스(Cos)의 히포크라테스가 아니다.

둘째, 엄격한 뜻에서 달조각이 아니다. 초승달은 달에 지구의 그림자가 가린 것이다. 따라서 달이라는 구에 지구의 projection이고 따라서, 원형과 타원의 교집합이기 때문이다.

세째, 위의 두가지를 엄격하게 하지 않고 양보한다고 해도 앞에서 말한 정리를 '히포크라테스의 초승달 정리' 라고 말할 때는 조심해야 한다. 정리의 형태로 된 것은 아랍의 11세기 초 이븐 알하이탐이 일반적인 정리를 발견하였다고 한다. 그후 17세기 중반, 프랑스의 수학자들도 발견하였다. 히포크라테스는 특수한 몇가지 경우에 대해서만 발견하였다.

하지만, 여기서는 그냥 히포크라테스의 초승달 정리하고 하자.

(히포크라테스 초승달 정리) : 직각삼각형 ABC 가 있다. 변에 오른쪽 그림처럼 반원을 작도할 때, 빗변에서 이룬 반원의 넓이는 다른 두 변에서 이룬 반원의 넓이의 합과 같다.

증명은 간단하다. 다음 질문에 답하라.

직접 증명해보라.

꼭지점 C에서 세원이 정말 만날까?

이와 관련해서는 피타고라스 정리의 일반화 중 닮은 도형 부분을 참고하라.

[7] 첫째, 우리의 키오스(Chios;또는 히오스) 지방의 히포크라테스는 의학 선서로 유명한 코스(Cos)의 히포크라테스가 아니다.

[8] 둘째, 엄격한 뜻에서 달조각이 아니다. 초승달은 달에 지구의 그림자가 가린 것이다. 따라서 달이라는 구에 지구의 projection이고 따라서, 원형과 타원의 교집합이기 때문이다.

[9] 세째, 위의 두가지를 엄격하게 하지 않고 양보한다고 해도 앞에서 말한 정리를 '히포크라테스의 초승달 정리' 라고 말할 때는 조심해야 한다. 정리의 형태로 된 것은 아랍의 11세기 초 이븐 알하이탐이 일반적인 정리를 발견하였다고 한다. 그후 17세기 중반, 프랑스의 수학자들도 발견하였다. 히포크라테스는 특수한 몇가지 경우에 대해서만 발견하였다.

[10] 직접 증명해보라.

[11] 꼭지점 C에서 세원이 정말 만날까?

[12] 이와 관련해서는 피타고라스 정리의 일반화 중 닮은 도형 부분을 참고하라.

[4] 이런 류의 문제는 '자와 컴퍼스'로 풀 수 없는 영역으로 인식되었고 따라서 직선이나 원 보다 '복잡한 선'을 필요로 한다고 고대 그리스 사람들은 이미 짐작하고 있었다. 이런 기록이 파푸스의 저서에 남아 있다고 한다.

[5] 이 정리는 '아르키메데스' 가 발견하여 저서에 남긴 것이다.
아르키메데스 정리 : 원의 면적 = 원의 둘레와 같은 길이의 밑변과 원의 반지름과 같은 높이를 가진 삼각형의 면적
그런데 디노스트라투스는 아르키메데스보다 몇 백년 전 사람인데 어떻게 이 정리를 썼을까? 가능성은 둘 중 하나다. 그가 살던 당시 증명은 하지 않았지만 이 사실을 이미 알고 쓰고 있었거나, 아니면 그는 다르게 증명했는데 아르키메데스보다 수백년 뒤의 사람이 파푸스 이 정리를 써서 증명했을지도 모른다. 아르키메데스의 저작은 많이 손상된 채로 발견되어서 이 사실에 대한 부분이 사라졌기 때문에 아직까지 짐작만 해 볼 수 있을 따름이다.

[6] 앞에서 브리존 이후 아르키메데스가 $\pi$ 에 대한 성질을 볼 때도 그랬지만, 이미 고대 그리스에는 '수렴'에 대해 더 엄밀하게 정의하도록 필요성이 높아갔다. 그 당시 방정식과 함수와 같은 대수적 언어가 발달했다면 충분히 가능했을 것이다. 그러나 고대 그리스에서 기하학이 발달한 역사를 보면 '종합적(synthetical)' 사유가 중심이 되었다. 나중에 대수적인 언어와 좌표축을 이용해서 수학이 '분석적(analytic)' 방향으로 발달하면서 '수렴'과 같은 근대 이후 수학의 핵심적 역할을 한 개념이 비로소 엄밀하게 정의된다.

[7] 
Huygens's sprial Instrument
(읽지 않아도 됩니다. 아직 이해가 안가는데 나중에 알아보려고 옮겨 둔 부분입니다.) 아르키메데스의 회오리를 연구하고 '도구'를 발명한 사람은 네델란드의 휴겐스(Christiaan Huygens ; 1629-1695)라고 전해진다. (1650년 전후) 그는 추가 달린 시계를 발명한 사람이기도 하다. 이 도구에서 '직각'인 부분이 중요한 역할을 하는데 데카르트는 '곡선'으로 대체될 수 없는 것으로 여겼다. 이와 관련하여 회오리와 같이 도구를 써서 작도해야하는 복잡한 곡선의 호의 길이를 대수적으로 나타낼 수 없다고 믿었다. 데카르트 사후 8년이 흐르고(1658) y^{2} = x^{3}인 곡선의 'algebraic flattening( cut-off) 를 세 명의 수학자들이 발견했다.(네일, 헤이라트, 페르마) 이 사실은 당시 수많은 수학자들 뿐만 아니라 증명한 사람 자신들도 이런 수학적 사실에 놀랐다고 전해진다.

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