Inversive Geometry

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Inversion & Inversive Geometry 로 돌아가기

지금까지 본 뒤집기의 성질과 원의 새로운 정의들을 종합하면 매우 흥미로운 유추해볼 수 있다. 이것은 공간에 대한 우리의 직관을 되돌아보도록 한다. 직선과 원은 절대적으로 다른 무엇이라는 생각 대신 직선을 원의 특수한 경우로 볼 수 있게 도와준다. 그렇다면 뒤집기의 정의와 성질 에서 보았듯이 뒤집기가 직선성(collinearity)은 지켜내지 못한다는 어느정도 예외라 할만한 사실도 이제는 더이상 예외가 아니다.

직선은 원의 특수한 경우로 볼 수 있다.

원을 수학적으로 정의하는 방식은 이미 말했듯 여러가지다. 그 중 원의 정의 에서는 '쪼갬'의 성질을 이용해서 정의해보았다. 이에 따르면, 원이란 세 점 A, B, C 가 주어지면 그 세 점과 특수한 쪼갬의 관계를 갖는 다른 모든 점 X 들의 집합으로 결정된다. 환기하기 위해 다시쓰면 원은,

어떤 세 점 A, B, C 가 주어지면 그 점과 $BC\ \|\ AX$거나 $CA\ \|\ BX$ 거나 $AB\ \|\ CX$ 인 관계를 만족하는 모든 점들의 집합

로 나타낼 수 있다. 그런데 이때 세 점 A, B , C 의 위치 관계는 두 경우로 나뉜다. 하나의 직선(collinear)을 이룰 때와 그렇지 않고 삼각형을 이룰 경우다. 삼각형의 한 각이 점점 직선의 각을 이루어간다고 해보자. 위의 정의에 따르면 그렇게 만들어지는 점들의 집합은 원에서 점점 펼쳐져 간다. 이럴 경우 그 세 점이 결정하는 원의 반지름은 점점 커져간다고 볼 수 있다. 극단적인 경우 180도가 되면 이제 이 점들의 집합은 우리가 소위 말하는 직선이 된다. 따라서 이런 관점에서 보면, 직선이란 무한 반지름을 갖는 특수한 경우로 볼 수 있는 것이다!

하지만 무한 반지름이라는 말은 '무한'을 포함하는 정의라 대단히 모호하다. 반지름은 두 점으로 결정되는데 유클리드 평면에서 두 점을 결정하면 그 길이는 아무리 길어도 무한일 수 없다. 결국 직선을 원의 특수한 경우로 보기 위해서는 '무한 반지름'을 말할 수 있는 특수한 점을 유클리드 평면에다 보태야 한다. 이 점이 보태진 평면은 이제 유클리드 평면을 포함하는 새로운 평면으로 확장한다. 그런 가상(?)의 점을 이상점(Ideal Point) 이라 하고 기호로 $P_{\infty }$ 로 쓰기로 하자. 이 점이 추가된 평면을 Inversive plane 이라 부른다.

(정의) $\mathbb {E} \cup {P_{\infty }}$ = Inversive plane

이제 확장된 세상에서 일어나는 도형들의 무수히 많은 관계의 총체는 새로운 기하학(Inversive Geometry)이다. 여기서는 직선성(collinearity) 의 개념은 훨씬 유연하게 해석할 수 있다. 세 점이 어떤 원을 이루는 점이라면 그것도 collinear 하다고 표현할 수 있다.

Ideal point 가 추가된 Inversive plane 에서 뒤집기(inversion)는 이제 예외없이 말끔하게 꼴바꿈(transformation) 의 정의를 만족한다. 뒤집기는 Inversive plane 에서 Inversive plane 로 뒤집기의 두 조건을 만족하는 1: 1 대응이다. 따라서

뒤집기 원의 중심 O 는 이상점 $P_{\infty }$으로 대응한다.

직선은 중심이 $P_{\infty }$ 인 원으로, 선분은 그런 원의 호로, 평행한 직선들은 이상점 $P_{\infty }$에서 접하는 원들로 생각하면 된다. 반직선이나 각에 대해서도 충분히 짐작할 수 있을 것이다.

Inversive Geometry 의 성질

이제 뒤집기의 정의와 성질에서 보았던 성질들은 훨씬 유연하고 일반적인 방식으로 다시 쓸 수 있다. 이제는 직선 따로 원 따로 볼 필요가 없다. 원들 사이의 관계를 보는 것으로 충분하기 때문에 원들의 관계에 집중한다. 먼저 가장 기초적인 성질은 이미 본 것이다.

Inversive plane 에서 뒤집기 원에 대해 모든 원은 원으로 뒤집힌다.

원이 뒤집기 원의 중심을 지나면 중심이 $P_{\infty }$ 인 원으로, $P_{\infty }$ 이 아닌 다른 중심을 갖는 원으로 뒤집힌다.

아울러 앞에서 본 성질을 요약해보자.

• 두 원(두 직선)을 뒤집어도 각이 변하지 않는다. 따라서 직각인 두 원은 뒤집힌 뒤에도 직각인 관계가 유지된다.
• 어떤 두 삼각형에 대해서도 하나를 뒤집어 다른 것으로 겹치게 대응시킬 수도 있다.
• 네 점들의 관계들의 관계 Cross-ratio 도 뒤집기로 꼴을 바꾸어도 그 관계는 안 바뀐다.

서로 다른 두 원이 있다고 하자. 이 원들이 어떤 관계를 맺고 있는지 더 보자. 두 원의 관계는 크게 두 경우로 나눠 볼 수 있다. 두 원이 교차하지 않고 떨어져 있는 경우와 교차한 경우다. 먼저 두 원이 떨어져 있는 경우.

두 원이 떨어져 있으면 어떤 두 원도 뒤집어서 동심원 관계로 바꿀 수 있다.

원을 원으로 바꾸는 모든 '원형 변환'은 뒤집기와 옮김의 합성으로 나타낼 수 있다.

어떤 두 원이 주어졌어도 하나의 원에서 다른 원으로 뒤집을 수 있는 뒤집기가 존재한다.

세 점, 삼각형 뒤집기

선분 AB가 뒤집히면 어떻게 될까 ? 직선은 원으로 뒤집히므로 선분은 대응하는 원의 호로 나타나게 될 것이다. 여기에 머물지 말고 O, A, B 가 뒤집힌 점들 A', B' 와 어떤 관계에 있을까 더 구체적인 사실을 캐내면,

선분 AB 을 뒤집으면 호 A'B'가 되는데 이때 두 점 A'B'는 다음과 같은 관계를 갖는다.

$A'B':AB=r^{2}:OA\cdot OB$

이제 삼각형 ABC 을 뒤집어보자. 앞에서 뒤집기를 해도 변하지 않은 몇가지 중요한 성질은 보였다. 그 중 만남(concurrent) 과 만나는 점에서 이루는 각의 크기는 변하지 않는다. 삼각형 ABC를 뒤집기한 결과는 세 선분은 호가 되어 묘한 모양의 도형이 되겠지만, 관심을 만나는 점 A', B', C' 에 집중한다면 ? 바로 앞의 선분을 뒤집한 결과와 함께 생각해보면, 다음과 같은 흥미로운 결과를 얻을 수 있다.

삼각형 ABC 를 뒤집은 결과 대응하는 세 점 A', B', C' 을 직선으로 이은 삼각형은 원래 삼각형과 닮음이다.

닮음 관계는 뒤집기 원의 중심 O 와 반지름으로 결정될 것이다. 따라서 우리가 중심 O 와 반지름 r을 잘 잡으면 '합동'이 되는 삼각형도 얻을 수 있다. 따라서,

어떤 삼각형 ABC 와 삼각형 DEF 가 있을 때, 삼각형 ABC를 뒤집어 DEF와 합동인 삼각형을 작도할 수 있다.

네 점의 뒤집기 : Cross-Ratio 는 변하지 않는다.

네 점들에 대한 관계의 관계인 Cross-Ratio (이중 관계)도 변하지 않는다.

$(A'B',C'D')=(AB,CD)$

따라서 '쪼갬'의 관계도 변하지 않는다.

$AC\ \|\ BD\ \Leftrightarrow A'C'\ \|\ B'D'$

Note

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