Pythagoras Gen

피타고라스 정리 로

피타고라스 정리의 일반화

정사각형의 가정을 버리면

정사각형이라는 조건은 피타고라스 정리를 증명하는데 필수적인 요소였다. 이 조건을 풀면 일반적으로 피타고라스 정리는 옳지 않다. 이 조건을 풀되 다른 조건을 달면 상황은 어떻게 변할까?

앞에서 보았던 피타고라스 정리를 증명 중 하나를 다시 보자. 오른쪽 그림에서처럼 이 증명은 빗변으로 이룬 정사각형은 '안으로' 접어 올리고 나머지 두 변으로 이룬 정사각형은 '바깥쪽으로' 낸 경우다. 이 그림에서 눈여겨 볼 대목이 있다.

• 빗변으로 이룬 정사각형의 두 개의 '새로운' 꼭지점들이 나머지 두 변으로 이룬 정사각형에서 변에 마주하고 있는 변을 지난다.
• 정사각형의 변들은 모두 평행하다는 사실이다.

이것은 너무나 당연해서 관심을 안가지고 있던 것이다. 이제 이 사실에 주목하면서 문제의 조건을 바꾸어가면 새로운 사실을 밝힐 수 있다.

특별한 조건을 가진 평행사변형 : Pappus theorem

변에 쌓은 정사각형이라는 조건을 풀어보면 어떨까? 정사각형이 아니라, 직사각형이라면?

한 변에서 한 변만 정해진 직사각형이란 너무 많아서 또는 너무 정한(define) 게 없어서 아무것도 말하지 않은 것과 같다. 조건을 조금 죄어야 할 것이다. 그러나 어떻게? 나머지 변에 대한 '어떤' 조건이 필요할 것이다. 그러나 어떤? 어느 정도나 엄격하게 하면 될까? 무엇을 위해? 일단 피타고라스 정리를 포함하는 일반하된 정리를 마련하는 것이다. 물론 거기에 매달리지는 않는다. 숨겨진 아름다운 진실을 밝혀낼 수 있다면 금상첨화다.

이에 대해 이미 파푸스는 나름의 답을 내었다. 그는 정사각형보다 훨씬 광범위한 도형의 집합을 설정했다. '평행사변형'. 평행사변형은 이제 직사각형보다 더 광범위하다. 따라서 어쩔 수 없이, 조건을 까다롭게 한다. 대신, 놀랍게도, 주어진 삼각형이 꼭 직각삼각형이 아니어도 되고 모든 삼각형에 대해 성립한다는 것을 알게된다 !

이제 아무 삼각형이나 좋으니 어떤 삼각형이 있다 하자. 그리고 세 변에서 평행사변형을 만든다. 대신, 만드는 조건을 약간 까다롭게. 조건은 이렇다.

• 세 변에 평행사변형을 작도하되, 한 변에서는 삼각형 '안쪽으로' 다른 두 변에서는 삼각형 '바깥쪽'으로 한다.
• 안쪽으로 접은 평행사변형이 새로운 두 꼭지점은 삼각형의 바깥쪽에 있다.
• 이 두 꼭지점은 바깥쪽으로 올린 다른 두 평행사변형의 변(이나 그 연장선)에 있다.

이와 같이 삼각형의 변에 사각형을 쌓아올린 방법을 여기서는 Pappus Construction 이라고 하자. 그럴 때 다음의 법칙을 파푸스가 찾아냈다.

(파푸스 정리) : 어떤 삼각형에 Pappus Construction을 했을 때, 안쪽으로 접어 올린 평행사변형의 넓이는 바깥쪽으로 만든 두 평행사변형의 넓이와 같다.

증명해보자. 위의 그림 처럼 증명을 위해 보조선을 긋는다. 하나면 충분하다.

바깥쪽 평행사변형의 두 변을 연장해서 만난 점 C'와 C를 잇는다.

남은 일이란, 넓이를 비교해보는 일.

• 원래 있던 삼각형 ABC의 넓이 = 새롭게 얻은 삼각형 A'B'C'의 넓이.
• 원래 있던 왼쪽 평행사변형 넓이 = 새로운 평행사변형 AA'C'C 의 넓이.
• 원래 있던 오른쪽 평행사변형 넓이 = 새로운 평행사변형 BB'C'C 의 넓이.

이제 마지막 단계. 5각형 ABB'C'A'에서 보탠 것을 덜어내보자.

5각형 ABB'C'A' - 원래 있던 삼각형 ABC = 새로운 평행사변형 AA'C'C + 새로운 평행사변형 BB'C'C.

5각형 ABB'C'A' - 새로운 삼각형 A'B'C' = 원래 있던 평행사변형 ABB'A'.

따라서 피타고라스 정리는 파푸스 정리의 특수한 경우라 할 수 있다. 주어진 삼각형이 직각삼각형에 대해 Pappus construction 을 하는데, 다만 평행사변형의 특수한 형태인 정사각형으로 하면 된다.

닮은 도형

곧바로 이미 유클리드 Elements 에 등장하는 다음 정리를 먼저 보자.

(정리 E6) a, b , c 는 직각삼각형의 변(또는 그 길이), c 는 빗변이고, $F_{c},F_{a},F_{b}$ 는 해당하는 변을 상응하도록 만든 도형이면, $S(F_{c})=S(F_{a})+S(F_{b})$

피타고라스 정리는 이 정리의 특수한 경우다. 위 두 사실로부터 곧바로 피타고라스 정리가 나온다. 왜냐하면 정사각형들끼리는 닮았고 변들끼리 상응할 수 밖에 없다. 따라서 빗변 c로 만든 정사각형의 넓이(=$c^{2}$)는 다른 두 정사각형의 넓이의 합($a^{2}+b^{2}$)과 같다.

이렇게 간단한 증명이 있을수가 ! 놀랄 수 있다. 하지만, 잠깐 멈추고 이 사실을 다시 보자. 앞의 문장은 겉모양은 피타고라스 정리보다 일반화 된 것 같지만, 사실은 피타고라스 정리와 논리적으로 등가다. 왜냐하면,

• 우리는 앞에서 정리 E6 이 성립하면 피타고라스 정리가 성립한다는 것을 보였다. 마찬가지로,
• 피타고라스 정리가 성립하면 정리 E6이 성립하기 때문이다.

이것을 보이는 것은 아주 간단하다. 한가지만 기억하면 된다.

닮은 도형들의 넓이는 상응하는 변들의 길이의 제곱이다.

이 사실은 $S(F_{a}):S(F_{b}):S(F_{c})=a^{2}:b^{2}:c^{2}$ 이라는 말이다. 이 말은 다시 말하면, 아래의 관계가 성립하는 어떤 상수 k 가 항상 있을 수밖에 없다는 말이다.

$S(F_{a})=k\cdot a^{2},\quad S(F_{b})=k\cdot b^{2}\,\quad S(F_{c})=k\cdot c^{2}$.

피타고라스 정리가 성립한다고 전제하고 있으므로

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

이고 따라서 대수의 기초적인 성질에 따라, 어떤 수에 e 에 대해서도 다음 관계가 성립한다.

$c^{2}e=a^{2}e+b^{2}e$.

어떤 수 e 에 대해서도 성립하기 때문에 k 에 대해서도 성립한다. 결국,

$c^{2}k=S(F_{a})=a^{2}k+b^{2}k=S(F_{b})+S(F_{c})$

싱겁게 되었다. 피타고라스 정리보다 일반화된 정리를 얻었다고 생각했는데, 사실, 그것은 피타고라스 정리와 논리적으로 별반 다를게 없는 정리인 셈이다. 간단히 쓰면

피타고라스 정리 $\Leftrightarrow$ 정리 E6

인 셈이다. 피타고라스 정리는 길이에 대한 엄격하고 더 딱딱한 기하학의 언어로 씌였고, 정리 E6은 '닮음'이라는 그보다는 덜 딱딱한 언어로 표현된, 본질적으로 다를 것 없는 사실이라는 말이다. (물론, 이 경우, '닮음'이라는 개념으로 확장된 세계에서 볼 때 그렇다. ) 피타고라스 정리를 증명하건, 정리 E6 을 증명하건 아무거나 하나만 증명하면 된다. 그런데 정리 E6은 을 증명하는 것은 매우 쉽다. 옆의 그림만 보면 끝이다. 직각삼각형 ABC의 변에 '안쪽으로' 닮은 직각삼각형을 만든 꼴이다. 따라서 서로 상응하는 변들을 따지고, 넓이의 더하기 공리를 생각해보면,

$F_{c}=F_{a}+F_{b}$.

다. (증명은 끝났는가? 무엇이 문제인가? 스스로 보완해보라.)

파푸스 정리는 모든 삼각형에 대해, 대신 특별한 조건을 갖는 평행사변형을 변마다 작도했다. 그래서 그 결과, 그런 특수한 평행사변형들의 넓이의 관계가 피타고라스 정리와 같은 꼴이라라는 것을 보였다.

앞의 정리는 '닮음'이라는 개념으로 확장했다. 그리고 그 안에서 피타고라스 정리를 이끌어 낼 수 있는 언뜻 매우 일반화된(하지만 논리적으로 등가인) 정리를 이끌어 내었다. 여기서는 대신 한발 물러서서 다시 직각삼각형으로 돌아갔다. 파푸스 정리처럼 직각삼각형의 가정까지 버릴 수 있을까? 스스로 생각해보라.

하나만 더, 직각삼각형에 올린 도형은 어떤 것이든 '닮음' 관계이고, 직각삼각형의 세 변들이 상응하는 관계라는 것만 만족하면 되기 때문에 그것이 '곡선'이어도 아무 문제 없다. 반원인 경우가 바로 Squaring Circle#히포크라테스의 초승달 모양 해법 에서 보았던, '히포크라테스의 초승달' 이다.

증명

반 원이어도 상관없다. 직각삼각형 위에 올렸으므로 앞에서 말한 것 것 처럼 $F_{c}=F_{a}+F_{b}$ 다.

또는 피타고라스 정리에 따라 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 이고 같은 수만큼 곱해도 등식은 성립한다. 분배법칙에 따라,

빗변에서 이룬 큰 반원의 넓이 = ${\frac {\pi }{8}}c^{2}={\frac {\pi }{8}}a^{2}+{\frac {\pi }{8}}b^{2}$ = 작은 두 반원의 넓이.

피타고라스 정리와 직각삼각형 위의 닮은 도형에 관한 정리(정리E6)는 보다시피 '힘'이 같다.

일반적인 삼각형에서

닮음 관계로 확장된 언어 안에서

여기서도 우리는 '닮음' 관계와 그 기본 성질을 이미 터득했다고 가정하자. :) 닮음 관계까지 있는 '지금의 세계'는 앞에서 보았듯이 그렇게 하기 전, 그러니까, 단순히 변의 길이와 도형의 넓이와 각만 있던, '그 이전의 세계'보다 훨씬 편리한 세상이다.

주어진 삼각형이 직각삼각형이라는 조건을 푼다. 그냥 아무 삼각형이나 된다고 하자. 둔각삼각형이거나, 예각삼각형이거나, 직각삼각형일 것이다. 주어진 삼각형이 ABC라고 했을 때, 그 삼각형 ABC와 '닮은' 삼각형을 그림처럼 안쪽으로 작도해보자. 그림에서는 둔각인 경우다. 다시 말해,

각 CAB = 각 C"CB ; 각 ABC = 각 ACC' ; 각 BCA = 각 AC'C = 각 CC"B

이 되고 상응하는 꼭지점들이 일치하도록 작도한 것이다. 아래 문장을 직접 증명해보라. 어떤 삼각형 ABC 이 있을 때, 그 삼각형과 '닮은' 삼각형을 그림처럼 안쪽으로 작도하면 다음 등식은 참이다.

$AB^{2}=BC^{2}+CA^{2}\pm 2\cdot C'H\cdot AB$

글쓰기를 줄이기 위해$\pm$ 으로 표시하였다. 삼각형이 둔각이면 + , 예각이면 - , 직각이면 0 이 된다. 문맥상 이해할 수 있을 것이다. 직각삼각형이라는 특수한 상황에서, 피타고라스 정리가 성립한다.

• 다른 방식으로 보조선을 '밖으로' 내어 비슷한 정리를 끄집어 낼 수 있다. 그림의 보조선만 보고 정리를 만들고 증명해보라.

위의 증명에서는 '닮음 관계'를 이용해서, 비례를 이용한 대수식으로 푸는게 간단하다. 그러나, 이 막강하고 편리한 방법을 쓰는 대신 잃어버리는 것이 있다. 다름아닌 여기서 보인 두 성질이 피타고라스 정리의 일반화라는 것에 대한 '직관적 이해'는 대수식에 가려져 버린다. 그도 그럴 것이 대수식 연산으로 증명한다는 것이 무언가 : 기하적 성질을 수로 대응시킨 다음, 수들의 성질을 써서 그 법칙을 따라 수를 가지고 놀고, 마침내 그 결과만 가지고 다시 기하학으로 되돌아오는 것 아닌가. 기하학 본연으로 부터 멀어질 수 밖에 없다. 비록 기하적 사실은 받아들일 수 있다고 하더라도, 도형(공간)의 본질을 안개 너머로 보게 되는 것이다.

삼각법을 휘두르는

삼각법 또는 삼각함수에서는 아래의 법칙을 보통 코사인 법칙 이라 부른다. 이것을 포함해서 삼각함수에 대해서는 삼각함수 에서 따로 볼 것이다. 어떤 삼각형 ABC 의 어떤 변이 a, b, c 이고, 변 c를 점 꼭지점 C 에서 각 $\theta$ 로 보고 있다면,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta$

따라서 각 $\theta$ 가 직각일 때, 피타고라스 정리가 증명된다.

• 바로 앞 단원에서 푼 것과 이것은 같은 결과다. (스스로 보여라.) 다시 말해, c 가 빗변일 때,

$AC\cdot CE=BC\cdot CD=C'H\cdot AB=ab\cos \theta$ 인 것을 보여라.

공간으로

피타고라스 정리는 보통 2차원 평면에서 보지만, 차원을 높이면 어떻게 될까 ? 그런데 3차원 공간에서의 피타고라스 정리란 무엇을까? 잠시 멈추고 직접 생각해보라...

생각해보았는지? 우선, 공간에서는 직각삼각형이라는 말자체가 무색하다. 비슷한 형태가 되려면 세 면이 모두 직각삼각형의 형태로된 다면체(사면체)를 생각할 수 있다. 다음 걸리는 것은 거기에 정사각형을 쌓을 수는 없다. 따라서 고대 그리스 사람들이 떠올린 그림은 여기서는 의미가 없다. 한 면이 직각삼각형이라면 정사각형을 세울수 수는 없을테니까. 그렇다고 이 위에 네 면이 모두 정사각형인 정육면체를 쌓을 수도 없는 노릇이다. 따라서 여기서 말하는 '공간에서의 피타고라스 정리'란 엄격한 뜻에서 '공간'에 방점이 찍히는 것이라고 볼 수 없다. 다만 '피타고라스 정리'에 방점이 찍힌 형태, 그러니까, 제곱(squre)의 형태로 만들어진 식이다. 이런 식은 17세기초에 발견된 것으로 전한다.

세 면이 모두 직각삼각형으로된 사면체에서 빗면의 제곱은 다른 세 면의 제곱의 합과 같다.

세 면이 모두 직각삼각형인 다면체는 육면체의 구석(우리가 사는 방의 구석 쪽)을 잘라낸 것을 상상하면 된다.

이것을 증명하는 것은 어렵지 않으나, 벌써 공간으로 가면 기하학적 해법을 찾는 것이 복잡해질 것이다. 게다가 앞의 같은 도형으로 쪼개기 마지막 부분에서 언급했고, 공간에서의 쪼개기 에서 다룰 내용이지만, 2차원과 3차원은 근본적으로 다른 성질이 있다. 간단히 말하면,

• 평면에서는 같은 넓이를 갖는 다각형은 같은 다각형 조각들로 항상 쪼개진다.
• 공간에서는 같은 부피를 갖는 다면체는 같은 다면체 조각으로 항상 쪼개지지는 않는다.

보통 대수적인 해법들을 내놓고 있다. 계산의 연속과정이다. 직접 증명해보라.

Note

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