Set Def Operation

집합 이야기의 틀 로 돌아가기

집합(Set)의 기초적인 개념들 - 관계와 연산

우리에게는 수학의 대상으로서 잘 정의된 '집합'들이 있다. (있기로 했다.) '있으니' 그것들 사이의 관계로 비교하거나 그것들끼리 연산(operation)하여 새로운 집합을 생성하면 좋겠다. 다른 수학 세계와 마찬가지로 관계와 연산은 집합의 세계를 '살아 있게' 한다. 그렇게 함으로써 '집합'은 그냥 있기만 한 것이 아니라 '집합의 세계'가 된다. 우리는 그 세계를 둘러보면서 어떤 돋보기를 드러대기도 하고 열매를 따서 맛을 볼 수도 있고 놀이 기구를 탄 듯 어지러울 수도 있다. 물론 하품을 할 수도 있다.

집합의 논리적 관계

원소와 집합 사이의 관계 $\in$

집합의 정의 에서 이미 보았다. 어떤 원소 x 가 어떤 집합 A 를 구성하는지 아닌지 나타내는 관계다.

정의(원소의 소속을 나타내는 관계) : 어떤 집합 A 와 어떤 원소 x 사이에, x 가 A 를 구성하는 원소면, 'x 는 집합 A에 들어있다' 고 한다.

기호로는

$x\in A$

를 쓰기로 했다. 이 연산은 지금까지 수에서 흔히 나온 $a=b,\ a<b,\ a\equiv _{p}b$ 같은 관계들과 성질이 다르다. 그 관계들은 관계의 요소들 a, b 가 같은 class 에 있었는데 'a $\in$ b ' 라는 관계는 그렇지 않다고 볼 수 있다.

집합끼리의 관계 ( = , $\subset$ )

집합끼리 비교하는 논리적 관계에서 가장 기초가 되는 것은 역시 두 집합이 같은가 하는 것이리라. 두 집합이 같다는 것은 두 집합의 원소가 겹친다는 말이다. 기호로는 = 을 쓰자. 예를들어

{ 1, 2 } = { 2, 1 } = { x | (x - 1)(x - 2) = 0 } = { x | $x^{2}-3x+2=0$ } = { 3 보다 작은 자연수 }.

정리하면

정의 (집합끼리 '같음' 관계)  : 어떤 A, B 집합 사이에, 'A 에 들어있는 원소가 모두 B 에 들어있고, B 에 들어있는 원소도 모두 A 에 들어있는' 관계에 있을 때 'A 와 B는 같다'고 한다.

달리 말하면 'A 에 들어있는 원소와 B 에 들어있는 원소에 다른 것이 없는' 관계에 있을 때 A 와 B 는 같다고 기호로는

A = B

라 한다. 같음 관계는 어떤 성질을 가지고 있을까 ? 기호로 수의 세계에서 처럼 = 을 썼는데 이는 우연이 아니다. 과연 수에서 '같음 관계'와 성질이 비슷하다. 어떤 집합 A, B, C 에 대해서든, 집합의 같음 정의에서 이는 명확하다. 수나 식에서 같음, 유클리드 기하학에서 합동, 자연수 세계에서 모듈 합동 과도 같은 대단히 안정적이고 유용한 성질이다.

• (reflexive) : $A=A$
• (symmetry) : $A=B$ 면 , $B=A$
• (transitive) : $A=B$ 이고 $B=C$ 면 , $A=C$

두 집합의 원소가 같다는 것은 무슨 뜻일까? 집합이 같지 않은 경우 두 집합 사이는 어떤 관계가 있을까? 먼저 원소들의 면면을 보면 별로 관계 없어 보이는 경우도 있다. 원소가 모두 다르거나, 원소 일부는 같은데 나머지는 다르거나.

• { 1, 2, 3 } 과 { 4, 5, 6 }
• { 1, 2, 3 } 과 { $\pi$ }
• { 1, 2, 3 } 과 { 거북이, 총알 탄 사나이 }
• { 1, 2, 3 } 과 { 1, 빨간 세발 자전거, 소 등에 타고 피리부는 소년 }

이런 경우들은 하나의 총체로서의 집합을 비교하는데 무리가 있다. (물론 이런 유형에 대해서도 나름대로 정의하고 흥미로운 수학적 결과들을 끄집어 낼 수 있을지도 모른다.)

이런 경우도 있다.

A := { 1, 2, 3 } 과 B := { 1 }, C := {1, 2 }, D := { 1, 2 , 3 } , E := {1, 2, 3, 4 }

이렇게 어떤 집합의 원소들이 모두 다른 집합에 들어있는 경우 두 집합은 비교할 만하다. 이런 경우에 대해 관계를 정의해주자.

정의 (집합의 '포함' 관계)  : 집합 A에 들어있는 모든 원소는 집합 B에 들어있을 때, 집합 A는 집합 B에 포함된다 라고 부른다. 집합 A는 집합 B의 '부분 집합'이라고 부른다.

기호로

$A\subset B$

고 쓴다. 앞에서 집합 A 의 부분 집합은 B, C, D 가 있고, 집합 A 는 집합 D 와 E 의 부분집합이다. 여기서 짐작할 수 있다시피,

$A\subset B$ 이고 $B\subset A$ 이면 A = B 고 그 역도 참이다.

여기까지 보면, 포함 관계는 다음과 같은 기본 성질을 가지고 있다.

• (reflexive) : $A\subset A$
• (antisymmetry) : $A\subset B$ 이고 $B\subset A$ 면, $A=B$
• (transitive) : $A\subset B$ 이고 $B\subset C$ 면, $A\subset C$

특히, 이 경우는 집합 A와 집합 B가 같은 경우도 있기 때문에 더 엄격하게 '집합 A에 들어있는 모든 원소는 집합 B에 들어있고 '집합 B의 원소 중 A에 들어 있지 않은 원소가 있다' 고 하거나 거나 '집합 A에서 하나 이상의 원소를 추가하면 집합 B가 나올 수 있을 때', 이를 집합 A를 집합 B의 진부분집합 이라고 부르고 기호로

$A\varsubsetneq B$

라고 쓰기로 하자.

모든 집합에 포함되는 집합은 있을까 ?

여기서 질문, 모든 자연수보다 가장 작은 자연수는 있듯이 모든 집합에 포함되는 어떤 집합이 있을까? 집합이란 정의도 모호하고 광할하기 이를 데 없는 수학적 대상들인데 과연 그런 게 있을까?

학교에서도 설명하고 공집합은 모든 집합의 부분집합이라는 명제를 언급하기 때문에 이미 답은 알고 있을 것이다. 그렇다. "있다". 우선 공집합의 정의를 하자. 여기서는 '비어있는 집합'이라고 부르겠다.

정의 (공집합, 비어있는 집합)  : 만약 어떤 집합이 원소를 하나도 안가지고 있으면 그 집합을 공집합 또는 비어 있는 집합이라고 부른다.

아주 특별한 집합에만 따로 기호를 주는데, 그 예가 자연수 집합, 정수 집합, 유리수 집합, 실수 집합, 복소수 집합 같은 집합들이다. 차례로 기호로는, 보통

$\mathbb {N} \ ,\ \mathbb {Z} \ ,\ \mathbb {Q} \ ,\ \mathbb {R} \ ,\ \mathbb {C} \$

왠만해선 어떤 특정한 집합에 따로 기호를 주지 않는데 집합의 원소가 하나도 없는 집합에 대해서는 따로 쓰이는 기호가 있다. 그냥 { } 를 쓰는 경우도 있지만, 보통

$\emptyset$

을 쓴다. 가만히 생각해보자. 우리는 그동안 '집합'을 정의하기 위해서는 '원소의 존재'를 전제했다. 그런데 원소가 없는 것도 집합이라니, 사실 이 집합은 생각만큼 그리 자연스러운 집합은 아니다. 그렇지만, 우리가 어떤 집합을 정의하기 위해 조건 P(x) 를 주긴하는데 그것이 어떤 원소도 갖지 않을 경우가 수학에서는 빈번하다. 수학에서 새로운 대상을 살펴볼 때도 그 대상이 '있는지 없는지' 있다면 '끝없이 많이 있는지 아니면 유한개' 인지 보는 것은 기본이다. 소수에 대해 그 원소의 개수 를 따졌고, 초월수 에 대해서도 그런 수가 있는지 있다면 몇 개인지 따져보았다. 기하학적 대상들에 대해서도 마찬가지다. 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 정다각형은 있는지, 있다면 몇 개인지 살펴 보았다. 원소가 1개 , 2개 , 3개 있는 집합은 끝없이 많다. 그렇다면, 도대체

비어있는 집합은 몇 개 일까?

비어있는 집합과 다른 집합들 사이에 포함관계는 어떨까?

$\emptyset \subset A$

학교에서는 보통 모든 집합 A에 대해 위의 문장은 쉽사리 참이라고 해버린다. 일단 A 가 비어있다면 문제는 단순하다. 포함 관계는 relflexive 하기 때문이다. 그런데, 집합 A 가 비어있지 않는 경우는? 그 집합 A 가 무언지 몇개 인지 몰라도 원소를 갖는 경우다. { 달 } 이건, { 1,2, 3, ... } 이건, { 모든 정삼각형 }... 비어있는 집합 $\emptyset$ 이 집합 A가 무엇이건 가리지 않고 항상 포함되다니, 정말 그럴까? '포함관계'에 대한 정의를 잘 생각해보면서, 나름대로 답해보라.

가능한 간단한 답.

$E\subset A$ 은 A 에서 원소를 '하나씩' 빼내가서 언젠가 E 와 같아지는 것을 말하죠. A 가 어떤 집합이든 '하나씩' 빼내다보면 결국 다 덜어버리고 비게 되니까, 결국 비어있는 집합은 어떤 집합이든 항상 A 에 포함되요.

다음.

$E\subset A$ 가 뜻하는 것은 E 의 모든 원소가 A 에 있다 그 말이죠. 비어있는 집합은 원소가 하나도 없잖아요. 그래서 ...???

다음.

$E\subset A$ 가 아니라고 해봐요. 그러면 그 말은 A 의 원소에 들어있지 않은 어떤 원소가 E 에 '있다'는 말이예요. 그런데 비어있는 집합은 그런 원소가 없잖아요. 그래서 비어있는 집합은 모든 집합 안에 들어가 있는 거예요.

다음.

$E\subset A$ 은 E에 원소가 들어 있으면 , 그 원소 마다 반드시 A 에 들어 있다는 말이지요 . 안그래요? 그렇죠? 그런데 비어있는 집합에는 어떤 원소도 들어있지 않잖아요... 그렇죠? 음. 그러니까. 가정이 말이 안되고, 음... 그러니까, ... ???

자, 그대는 무슨 생각에 잠겨 있는지 ?

이제 집합의 연산에 대해 정의하고 그 성질을 보면서 비어있는 집합의 성질도 아울러 보게 될 것이다. 마치 수에서 0 이라는 수가 갖는 신비로움과 비슷하다.

집합의 연산(operation)

흥미로운 예가 있다. 질문이다.

수학자 중 최고령의 바둑기사와 바둑기사 중 최고령의 수학자는 같을까 다를까?

수학자 중 최고의 바둑기사와 바둑기사 중 최고의 수학자는 같을까 다를까?

다른 예. 빠트리트 쥐스킨트의 소설 '향수'는 아마 이렇게 시작한다.

18세기 파리에 한 사람이 살고 있었다. 그 당시에는 천재적인 사람도 혐오스런 사람도 많았다. 그 중에서도 그는 가장 천재적이면서 가장 혐오스런 사람이었다.

• 혐오스런 사람들 중 가장 나이 많은 천재와 천재적인 사람들 중 가장 나이 많은 혐오스런 사람은 같을까 다를 수 있을까 ?
• 혐오스런 사람들 중 가장 천재와 천재 중 가장 혐오스런 사람은 같을까 다를 수 있을까?

이런 질문을 했다고 하자. 어떻게 이 문제를 풀까? 따져보는 방법이 많겠지만, 아마도 대부분 수학자 모임(집합)과 바둑기사 모임(집합)을 놓고 이 둘이 겹치는 부분을 상상하면서 나름대로 풀어갈 것이다. 이와 같이 어떤 두 집합이 있을 때 그 집합 둘을 바탕으로 새로운 집합을 따로 떼어내 생각할 수 있다. 이런 것을 연산이라고도 하고 셈이라고도 한다. 여기서는 집합의 연산에 대해 보기로 하자. (그나저나 위의 두 문제에 대해 주위 사람들이나 벗들과 자유롭게 상상하고 답을 이야기하고 토론을 해보라.)

우리가 수의 세계에서 덧셈, 곱셈을 했던 것처럼, 주어진 집합들로부터 새로운 집합을 낼 수 있을 때, 비로소 집합 세계는 역동적이 된다. 연산을 정의할 때가 온 것이다. 집합에 생명의 기운을 확실하게 불어 넣을 때다.

두 집합의 원소를 한번씩만 담아 새로운 연산을 만드는 연산을 '합'(더함, 결합 연산)이라고 하고 또 두 집합에서 같은 것만 뽑아 새로운 집합을 만들 때 이를 '교'(겹침, 중복 연산)라 한다. 가장 기초적인 연산이다. 기호로는 $\cup ,\cap$라는 기호를 쓰기도 하고 수의 세계에서 했듯 $\cdot ,+$기호를 쓰기도 한다. 어떤 것이든 괜찮다. 여기서는 수의 세계, 방정식의 세계와 비교해 보는 맛도 있고 해서 $\cdot ,+$를 써서 나타내겠지만, 앞으로는 $\cup ,\cap$ 를 더 자주 쓸 것이다.

아래에서 편리하게 나타내기 위해 $\wedge ,\vee$는 차례대로, '이고' (and), '거나' (or)를 뜻하는 말을 대신해서 쓰는 기호라고 하자.

정의 (집합의 연산)

어떤 집합 A, B에 대하여, 차례대로 겹침, 더함, 빼냄 이라고 부르자.

$A\ \cdot \ B:=\{x\mid x\in A\quad \wedge \quad x\in B\}$

$A+B:=\{x\mid x\in A\quad \vee \quad x\in B\}$

$A-B:=\{x\mid x\in A\quad \wedge \quad x\notin B\}$

겹침 연산은 A 집합의 원소를 B 에 견주어서 같은 원소들만 골라내 새로 담아 새로운 집합 A $\cdot$ B 을 낸다. 더함 연산은 A 에 있는 원소를 다 골라내고 B 에 있는 것도 다 골라낸다. 단지 중복된 것이 있으면 새로 담지 않는다. 빼내는 연산은 B 의 원소들 하나하 A 와 견주어 보면서 같은 게 있으면 A 에서 덜어내고 남은 것만 모아 새로운 집합을 낸다. (벌써 정의에서부터 빼기 연산은 알고리듬 순서가 앞의 것들과 다르다. )

물론 연산이 꼭 그런 것만 있어야 하는 것은 아니다. 다른 연산을 정의해보자.

1. $A\times B:=\{(x,y)\mid x\in A\quad \wedge \quad y\in B\}$
2. $A\ \Diamond \ B:=\{x\mid x$ 는 A와 B 둘 중 하나에만 들어있는 원소 $\}$

연산 $\times$ 는 두 집합의 원소들로 하나씩 뽑아 그 쌍을 이루어라 하는 연산이다.

그리고 다음 관계는 명확하다. (증명해보라)

$A\ \Diamond \ B=(A-B)+(B-A)=(A+B)-A\cdot B$

앞에서 나열했던 연산의 예를 보자. 만약

$A:=\{x\mid x^{2}-2x+1=0\quad ;\quad x\in \mathbb {R} \}$

$B:=\{x\mid x^{2}+2x-3=0\quad ;\quad x\in \mathbb {R} \}$

로 주어지면

$A\ \cdot \ B:=\{1\}$

$A+B:=\{\ 1,-3\}$

$A-B:=\emptyset$

$B-A:=\{\ -3\}$

$A\times B:=\{(1,1),(1,-3)\}$

$A\ \Diamond \ B:=\{-3\}$

여집합'에 대해 한마디

학교에서 흔히 여집합이라고 부르는 것을 다룬다. $A^{c}$를 쓰기도 하지만 여기서는 일단 $A^{-}$를 쓰기로 한다. 이것은 연산일까 연산의 결과일까? 연산이라해보자. 이미 나온 연산들은 두 집합들이 주어질 때 새로운 집합을 내게 하는 것이라면, 이 연산은 하나의 집합이 주어졌을 때 그것을 주물러서 새로운 집합을 내야한다. A에 들어있지 않은 원소들 골라내야 한다. A 집합의 원소가 아닌 원소를 뽑아낸다니. 도대체 무엇이란 말인가? 만약 세상이 모든 원소를 집합으로하는 전체집합 U 가 있다면 모를까, 연산이라고 하기에는 선뜻 내키지 않는다. 예를 들어 $A:=\{1,4,6,$ 빨간 장미꽃 $\}$이 있다고 하자. 그럴 때 $A^{-}$의 원소는 도대체 무엇인가 ? 1, 4, 6, 빨간 장미꽃 들 네 원소를 빼고 아무거나 된다고 ? 어쨌든 우리는 우선 이 기호를 받아들이기로 하자. 특별한 경우가 아니면 쓰지 않도록 하겠지만, 아래 'Duality 를 보기위해 일단 '전체집합' 이란 것이 있고 그것을 U 라는 집합이 있다고 하자. 그렇다면 위의 두 원소는 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 (전체 집합)  : 무엇이든 원소로 하는 집합을 전체 집합이라 부른다.

정의 (여집합, 또는 '나머지') $A^{-}:=\{x\mid x\notin A\}$

또는 이렇게 할 수도 있다. 새로운 연산을 정의하자. 조금 모호한 알고리듬이다.

정의 (쪼개기) : 집합 A 가 주어졌을 때, 두 집합 B 와 C 로 따로 나눌 때, 다시 말해 B 와 C 를 합하면 집합 A 가 나오고 B 와 C 사이에는 어떤 원소도 같은 것이 없을 때, '집합 A 는 집합 B 와 C 로 쪼개진다' 라고 부른다.

그럴 경우 주어진 집합 A 에 대해 어떤 식으로건 쪼개기 연산을 해서 B 와 C 를 얻었을 때, B 는 C 의 나머지고, C 는 B 의 나머지다. 다시 말해 '나머지' 라는 개념은 상대적이다. $A^{-}$은 전체 집합 U 를 쪼개고 났을 때 A의 나머지라고 부르는게 낫겠다. 전체집합이라는 것을 우리가 다룰 수 있다면 말이다. 그러나, 앞으로 보겠지만, '모든 원소들과 집합들을 원소로 갖는', '전지전능한' 집합, 일명 전체집합은 이상한 성질을 가지고 있어서 집합론의 체계 안에 역설(패러독스)을 불러 일으킨다.

집합 연산의 기본 성질

집합에 대한 성질을 확장하기 위해서 지금까지 정의해본 연산들의 기초적인 성질이 어느 정도 안정적인 기반 위에 있는지 확인해보자. '더함(합)'과 '겹침(교)'에 대한 성질도 수에서의 합과 곱의 성질과 비슷하다. 연산들에 대해 교환, 결합 법칙이 성립하고 분배 법칙도 성립한다. 비어있는 집합은 두 연산에 대해 수에서 0 과 비슷한 역할을 한다. 우리는 비교적 괜찮은 연산을 정의해준 것이다. 아주 좋다.

$A+B=B+A$

$A\cdot B=B\cdot A$

$(A+B)+C=A+(B+C)$

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

$A\cdot (B+C)=A\cdot B+B\cdot C$

$A+\emptyset =A$

$A\cdot \emptyset =\emptyset$

게다가 수에서 없었던 성질들도 있다.

$A+A=A$

$A\cdot A=A$

$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (B+C)$

도 성립한다. A가 B에 포함될 때는

$A+B=B$

$A\cdot B=A$

그렇다면 '지수'가 '겹침 연산'을 두 번 한다고 했을 때,

$(A+B)^{2}$

은 어떻게 될까? $(A+B)^{2}=A^{2}+2A\cdot B+B^{2}$를 떠올리지 않았기를... 결국 그렇게 되고 정리하면 그렇게 되겠지만 위의$A+A=A$ 성질처럼 $(A+B)^{2}=A+B$ 일 것이고, 일반적으로 쓰면

$(A+B)^{n}=A+B$

이다. 여기에 비어있는 집합과 전체집합 U 가 있다고 해보자. 그럴 때, 어떤 집합 $A$에 대해 그 나머지($A^{-}$) 연산에 대한 성질은 다음과 같다.

$A+A^{-}=U$

$A\cdot A^{-}=\emptyset$

$\emptyset ^{-}=U$

$U^{-}=\emptyset$

$(A^{-})^{-}=A$

$(A+B)^{-}=A^{-}\cdot B^{-}$

$(A\cdot B)^{-}=A^{-}+B^{-}$

포함 관계($\subset$)에 대한 관계와 관련된 성질을 보면,

$A\subset B\Leftrightarrow A+B=B\Leftrightarrow A\cdot B=A\Leftrightarrow B^{-}\subset A^{-}$

다음을 풀어보시오.

(1) 연산 - 와 $\Diamond$ 에 대해서도 교환 법칙과 결합법칙이 성립할까?

(2) 아래 네 집합 A, B, C, D 가 정의되었다. A와 B를 어떻게 연산하면 C나 D와 같아질까 ?

$A:=\{x\mid 2x-1=0\quad ;\quad x\in \mathbb {R} \}$

$B:=\{x\mid 5x+1=0\quad ;\quad x\in \mathbb {R} \}$

$C:=\{x\mid (2x-1)^{2}+(5x+1)^{2}=0\quad ;\quad x\in \mathbb {R} \}$

$D:=\{x\mid (2x-1)\cdot (5x+1)=0\quad ;\quad x\in \mathbb {R} \}$

(3) 다음의 조건을 만족하는 집합 A, B, C 는 있을까?

$A\cdot B\neq \emptyset$

$A\cdot C=\emptyset$

$(A\cdot )-C=\emptyset$

(4) 참인 것과 아닌 것을 구분해보라.

$(A+B)-C=(A-C)+B$

$(A\cdot B)-C=(A-C)\cdot B$

$A-(B+C)=(A-B)\cdot (A-C)$

$A-(B\cdot C)=(A-B)+(A-C)$

집합 세계의 Duality (이원성)

위의 사실들을 낱낱히 검토하고 이해하는 것은 기본적인 것인데, 한층 흥미로운 사실에 주목하자. 앞의 모든 문장들에서

$A+B=B+A$		$A\cdot B=B\cdot A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$		$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$
$A\cdot (B+C)=A\cdot B+B\cdot C$		$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (B+C)$
$A+A=A$		$A\cdot A=A$
$A+\emptyset =A$		$A\cdot U=A$
$A\cdot \emptyset =\emptyset$		$A+U=U$

이다. 왼쪽과 오른쪽이 $\cdot$ 대신 + 를, 그리고 비어있는 집합과 전체집합을 바꿔쓰면 문장이 그대로 바뀌어 쓰인다. 이런 성질을 Duality 라 부른다. 또,

$A\subset B\Leftrightarrow A+B=B\Leftrightarrow A\cdot B=A\Leftrightarrow B^{-}\subset A^{-}$

은

$B\subset A\Leftrightarrow A\cdot B=B\Leftrightarrow A+B=A\Leftrightarrow A^{-}\subset B^{-}$

로 바뀌어도 참이다. 이렇게 이원적인 성질(Duality)은 기하학을 포함한 다른 분야에서도 나타나는 현상이다. 이 때문에 우리가 어떤 정리를 발견했다면 그 정리에서 위의 이원적 성질을 가진 부분만 바꾸어 다른 정리(dual theorem) 도 참이 된다는 것을 뜻한다.

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Note

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