Def Circle

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원의 성질 참고

'원'(circle)은 완벽한 도형으로 인류의 역사만큼 오래전부터 경배의 대상이었다. 모든 완벽한 것은 원으로 표현되는 전통은 오늘날까지도 이어지고 있다. 이 원을 원답게 그리는 도구로 오늘날은 컴퍼스를 쓴다. 컴퍼스의 한 발을 고정하고 어느 정도 벌려, 이 벌어진 정도를 바꾸지 않고 회전하면서 다른 발이 그리는 점들을 따라 가면 원(과 비슷한 한 것)을 현실적으로 볼 수 있다. 그때 고정된 점을 중심이라 하고 벌린 정도를 반지름이라 부른다.

그런데 우리가 원이라고 생각하는 바로 그것은 과연 무엇일까? 어떻게 수학적인 언어로 정의할 수 있을까?

먼저 유클리드 Elements를 뿌리 삼아 보자. Elements의 11 권 정의 15를 따르면 이렇다.

원(circle)' 이란 하나의 선으로 된 평면 도형인데, 이 도형의 안 쪽에 있는 어떤 점에서 직선들을 그어내리면 모두 같은 거리에 있는 그런 도형이다.

그 '어떤 점'을 중심 이라 부르고 이 점에서 원까지 같은 정도로 떨어진 직선(선분)을 반지름 이라 한다. 그리고 나서 3 번째 공준(Postulate)에서는

어떤 점에서든 어떤 반지름이든 이것만 주어지면 이것으로 원을 나타낼 수 있다.

고 다시 확정한다. 여기서볼 때, 원을 정의하는 가장 기본적인 원소는 중심과 반지름이다. 이것은 우리의 직관과 잘 맞아떨어지는 매우 자연스러운 정의다. 따라서 이것을 기초로 이야기를 풀어가보자.

중심에서 떨어진 점들의 집합으로서의 원

중심과 반지름으로 정의 : 실수 평면에서 좌표법으로 나타내기

앞에서 말했듯, 원은 한 점과 그로부터 일정하게 떨어진 점들이다. 여기에는 몇가지 조건이 따른다.

• 어떤 평면에서 (plane),
• 그 평면의 어떤 점으로부터, (center)
• 그 평면에서 같은 선분의 거리 만큼 떨어진 모든 점들이 이루는 닫힌 곡선. (radius, simple closed curve)

이다. 이런 도형을 '어떤 성질을 갖는 점들의 집합'으로 표현하는 현대식 방식을 따라 다시 쓰면,

어떤 평면에 있는 어떤 점으로부터 그 평면에서 정해진 길이만큼 떨어진 점들의 집합.

이다.

17세기 들어 데카르트 좌표법이 개발되면서 도형의 세계와 수의 세계는 더이상 따로 떨어진 세계가 아니게 된다. 이제 두 세계의 잇는 다리 역할을 한 좌표법 도움을 받아 기하적 요소인 원을 실수 평면에 식 으로 나타낼 수 있게 되었다. 중심이 좌표 (a,b) 고 반지름을 r 이라면 아래와 같이 식과 집합 기호로 나타낼 수 있다. 여기에는 피타고라스 정리 가 핵심적인 역할을 한다.

$\{(x,y)\ |\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\ ,\ x,y\in \mathbb {R} \}$

완벽하지 않은가? 더 이상 무슨 정의가 또 필요하단 말인가? 라고 할 수 있다. 하지만 이 정의가 절대적인 것은 아니다. 원을 정의하는 여러 방법 중 하나일 뿐이며 결정적으로 이것은 유클리드 Elements에서 제시한 공준을 피타고라스 정리를 써서 식으로 표현한 것일 뿐이다.

이 정의는 '실수 체계'에 기대고 있다.

이 보다 더 기하적 정의는 없을까?

공간에서 얻어내는 원 : 원추 단면 (Conic Section)

원추 단면의 뜻과 construction 은 원추 단면의 정의 를 보면 될 것이다. 원추 단면은 고대 그리스 시대 부터 활발하게 연구되던 주제였다. Doubling Cube 문제 해결에 응용 에서 보듯 어떤 큐빅의 부피가 두 배되는 큐빅을 찾기 위해서 고안된 것으로 보인다. 어떤 원추를 이루는 직선들 어떤 것에도 평행하지 않게 자르면 일반적으로 타원이 되는 데 그 중 특별한 경우에 원이 된다. 이것이 과연 진짜 원일까?

이 정의는 순수하게 기하학적이다. 대신 3차원 공간을 가정한다. 3차원 공간에서 평면적 도형을 얻어내는 방법이다. 이제 평면 안에서 중심과 반지름에 기대지 않고도 정의할 차례다.

평면에서 네 점의 관계

우리는 세 점이 '주어지면' 이 세 점을 지나는 원은 딱 하나라는 사실을 알고 있고 이것을 작도하는 것은 그리 어려운 문제가 아니다. (?) 이것으로부터 주어진 세 점으로 원을 정의할 수도 있을 것이라고 짐작할 수 있다. 하지만 어떻게 ?

세 점이 주어지면 그것으로부터 원을 얻기 위해 필요한 정리가 있다.

(정리 : 네 점이 원을 이루기 위한 필요조건) : 점 A, C 를 갖는 원과 점 B, D를 갖는 원이 공통점을 가지면 A,B,C,D는 어떤 원 또는 직선에 있다.

이 명제와 논리적으로 등가인 명제는 네 점 A,B,C,D 가 어떤 원에도 직선에도 있지 않으면 점 A, C를 지나는 원이 C, D 를 지나는 원과 공통점이 없도록 하는 두 원을 찾을 수 있다. 따라서 위의 정리를 말하는 명제의 앞부분, '점 A, C 를 갖는 원과 점 B, D를 갖는 원이 공통점을 가지면' 은 네 개의 '정해진' 점에 대한 성질이다. 바로 이 지점에서 '세 점으로부터' 원이라는, 특수한 성질을 갖는 점들의 집합을 정의할 수 있다. 여기에 기대는 개념이 '떼어놓음' 이고 이것과 논리적으로 등가 개념인 이중관계(cross-ratio)이다.

떼어놓음 : Separation

서로 다른 네 점 A, B, C, D 가 있을 때, 이 점들의 관계는 여러가지 방식으로 규정할 수 있을 것이다. 하나의 직선이나 원에 있을수도 있고 그렇지 못할 수도 있다. 유클리드 평면에 대한 성격을 정해주는 공리체계에서 핵심적인 역할을 했던 기초적인 요소들은

• Incident : 어떤 선에 점들이 있다. 또는 직선들이 한 점에서 만난다. collinear, concurrent 의 일반적인 개념.
• 순서 (order)
• 겹침 (congruent)
• 연속 (continuous)
• 평행 (parallel)

과 같은 요소다. 이 요소들로 유클리드 평면에 대한 공리들이 분류된다. 우리에게는 지금 서로 다른 네 점들이 있다. 이제 어떻게 할 것인가?

원을 정의하기 위해 여기서는 두 점씩 짝을 지어 그것들의 관계를 본다. 이해하기 쉽도록, A, C 를 한 묶음으로 하고 B, D 를 한 묶음으로 하자. 그 묶음을 연결해본다고 상상해보면, 다음과 같이 나눌 수 있다. AC 가 B와 D를 '떼어놓는' 경우다.

(정의 : 서로 떼어놓음 관계) : 네 점 A, B, C, D 가 하나의 원이나 직선에 있고, 두 점 A 와 C 가 이루는 호들에 B 또는 D 가 하나씩만 있을 때, 두 점들의 묶음들 AC 와 BD가 서로 떼어놓는다 고 부른다.

이는 직관적으로 분명할 것이다. 두점의 묶음들에 대한 관계에 대해 하나만 더.

(정의 : 서로 교차함 관계) A, C 를 포함하는 원과 B, D를 포함하는 두 원이 최소한 두 개의 공유점을 갖게 되면 이를 두 원은 서로 교차한다고 한다.

기호로 나타내보자.

서로 떼어놓음은 $AC\ \|\ BD$ 로, 서로 교차함은 $AC*BD$ 로 쓰기로 하자.

그래서 앞의 '정리'를 다시 쓰면

$AC*BD\ \Rightarrow$ A, B, C, D 는 한 원(또는 직선) 에 있다.

이제 이 개념들이 의미를 가질 수 있는 것은 바로 아래 성질 때문이다.

$AC\ \|\ BD\ \Leftrightarrow \ AC*BD$

'그림을 그려보면' 직관적으로는 분명하다. (증명해보라. : 떼어놓음과 교차함에 대한 증명 참고)

자, 이제 원을 정의하기 위한 준비는 거의 된 것 같다. 그런데 문제가 하나 있다. '떼어놓음' 관계는 결정적으로 원(또는 직선)에 있는 네 점을 전제로 하고 있다. 따라서 이것만으로 주어진 세 점에서 한 점을 변화하는 원소(variable)로 삼아 원을 정의하기는 부족하다. 한발만 더 나아가면 된다. 네 점의 관계를 나타내면서 '떼어놓음' 관계를 나타낼 수 있고 한 점을 변화할 수 있는 원소로 나타낼 수 있는 관계를 찾을 차례다. Projective Geometry에서도 중요한 역할을 하는 네 점들의 관계들의 관계 에서 떼어놓음 관계와 논리적으로 등가인 식을 얻어서 원의 정의를 완성한다.

이중 관계 : Cross-Ratio

네 점들의 관계들의 관계 Cross-Ration를 정의하면 이렇다. 어떤 서로 다른 네 개의 점이 있다고 할 때,

$(A,B;C,D):=(AC:BC):(AD:BD)={\frac {AC\cdot BD}{AD\cdot BC}}$

식에서 벌써 AC : BC 와 관계 AD : BD 의 관계가 이루는 이중적인 관계라는 것이 드러난다. 이 정의는 네 점의 관계를 하나의 실수에 대응시키고 있다. 이것과 다리를 놓을 수 있는 '떼어있음'의 성질은

서로 다른 네 점 A, B, C, D 에 대해 항상

$AB\cdot CD+BC\cdot AD\ \geq \ AC\cdot BD$

인 관계가 성립하고, 특히

$AB\cdot CD+BC\cdot AD\ =\ AC\cdot BD\ \Leftrightarrow \ AC\ \|\ BD$ .

따라서 다음 식을 얻을 수 있다.

$(A,D\ ;B,C)+(A,B\ ;D,C)=1\ \Leftrightarrow \ AC\ \|\ BD$

이제 지금까지의 결론만 모두 한 자리에 모아보자.

$(A,D\ ;B,C)+(A,B\ ;D,C)=1\ \Leftrightarrow \ AC\ \|\ BD\ \Leftrightarrow \ AC*BD$

결국,

$\{\ X\ |\ AB\ \|\ CX\ \}\cup \{\ X\ |\ BC\ \|\ AX\ \}\cup \{\ X\ |\ CA\ \|\ BX\ \}\cup \{\ A,B,C\ \}$

은 주어진 A, B, C 에 대해 어떤 하나의 원이거나 직선일 것이다.

극 변환

Projective Geometry 에서 다룰 내용이다. 그 중 극 변환 (reciprocation, polar transformation)에서 추가될 내용. 그 변환에서는 점이 직선으로 직선이 점으로 대응된다. 따라서 우리가 지금까지 '점들의 집합' 으로 원을 보았던 것을 뒤집어 생각하면 (dual) 직선들의 집합으로도 볼 수 있다. 그렇다면, 어떤 성격을 갖는 직선일까 ? 어떤 원을 이룰만한 접선들의 다발의 집합일 것이다.

다시 생각해 보기

좌표에서 나타낸 방법처럼 원을 정의하는데는 중심과 반지름을 알 수 있는 한 점만 있으면 충분한데 비해 '서로 떼어놓음' 관계로 원을 정의할 때는 세 점이 필요하다. 그만큼 '중심'에 대한 정보는 결정적이라 할 수 있다. 그런데, 떼어놓음으로 원을 결정할 때 우리는 이 원의 중심과 반지름을 찾아낼 수 있는 알고리듬이 있을까? 그 알고리듬 중 가장 간단한 도구인 자와 컴퍼스로만 쓴다고 하면? 다시 말해

Q . 중심이 아닌 세 점으로부터 원을 얻게 되면 그 원의 중심을 자와 컴퍼스로 작도할 수 있을까?

또 뭐가 있었지 ? 생각할 거리가 더 있었는데... hmm...

Note

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