Translation How

Transformation 으로

어떻게 옮길까?

앞의 글 자리옮김 에서 ' 대응하는 점들의 거리가 안바뀌는 변환' 들의 기본 성질에 대해 보았다. 여기서는

이어서 변환해도(composition) 결국 대응하는 점들은 변하지 않는데다,
이것들을 모두 모으면 상당히 안정적인 시스템이고,
실제로 우리가 생각하는 '자리만 옮기기' 또는 '옮겨서 겹치기'의 직관을 만족한다.

는 사실들을 확인했다. 우리의 직관을 아주 쓸만한 수학적 언어로 통역한 셈이다. 옮기는 방법도 무척 많을 것이다. 상상해보자. 상상할 수 있는 것 중 가장 기초적인 다각형인 삼각형으로 옮겨보기로 한다.

같은 것들을 떠올려 볼 수 있다. 이미 앞의 글 자리옮김 에서 분명하게 밝혔다시피 형태와 크기가 그대로 유지된다. 이 그림은 여러 형태의 가능한 자리옮김들을 보여주고 있다.

ABC 에서 A'B'C' 로, A'B'C' 에서 A"B"C" 로, 또는 A"B"C" 에서

\cdots A^{*}B^{*}C^{*}

로 옮긴다. 또는

ABC 에서 A"B"C" 로, A'B'C' 에서

A^{*}B^{*}C^{*}

로도 옮길 수 있다. 또는 ABC에서

A^{*}B^{*}C^{*}

로도 '옮김'이다.

이것말고도 여러 가지 가능한 경울들을 생각해볼 수 있다. 상상해서 몇 개 그려본 것을 보고 있으면 다음과 같은 호기심이 든다.

그림에서 보는 옮김의 종류를 어떻게 수학적인 언어로 나타낼 수 있을까?
이런 옮김의 종류들 사이에는 무엇이 같고 무엇이 다를까? 중요한 차이가 있다면 그 기준으로 $T_{D}$ 를 다시 분류해볼 수 있을 텐데 어떤 것이 가능할까?
어떤 두 옮김의 형태를 써서 다른 것을 나타낼 수 있을까? 만약 f, g 옮김 만으로 나머지 모두를 나타낼 수 있을 지도 모른다. 만약 있다면 가장 기초가 되는 것은 무엇일까?
같은 평면에서 어떤 도형을 '자리옮김' 만 할 때, 오른쪽 그림에서 보여주지 않은 다른 형태가 또 있을까?

자, 이런 질문들 말고 어떤 궁금증이 드는지 아래 열거하고 그 질문들 사이에 어떤 연관이 있는지 토론해보라.

앞에서 든 문제들을 수학적 언어로 바꾸면, 숨겨진 어떤 진실을 밝혀낼 수 있다. 게다가 그것을 논리적인 모순 없이 간단하게 말로 표현할 수 있게 된다. 함께 보자.

어떻게 옮길까?

기본이 되는 방법들을 먼저 보자. 가장 엄격한 것이라면 역시 '평행'하게 옮기는 경우와 어떤 점에 대해 어느 정도 돌리는 경우일 것이다.

평행하게 옮김

일직선으로 기차길을 생각해보라. 일직선 위의 어느 지점에서 다른 지점으로 기차가 옮겨갈 수 있다. 이런 것은 기차가 '한 지점에서 다른 지점만큼' ' 평행하게' 옮겨간 경우다. 오른쪽 그림들은 그런 경우 중 도형을 매우 단순화시켜 보였다. '평행이동'이라는 글자는 k 만큼 우리 경험에 비추어 '오른쪽'으로 평행하게 옮겼다. 이 둘은 정확히 겹친다. 이처럼

정의 : 어느 정도의 길이만큼 어떤 방향으로 옮기는 경우를 평행이동이라 한다.

이것을 길이와 방향을 가진 선분을 벡터(vector)라고 부르기 때문에, 평면 위의 어떤 점 A를 f(A)로 옮기는 조건이 '거리유지'의 기본 조건에 추가된다. 이것을 기호로 표시하면

\forall {\vec {a}}\forall A\ ({\vec {Af(A)}}={\vec {a}})

로 옮기는 변환 f 를 우리는 평행이동이라 부르는 것이다. 어떤 \vec{a} 가 주어졌을 때, 이런 조건을 만족하는 모든 옮김을 $P_{\vec {a}}$ 라고 부르자. 그리고 어떤 벡터가 주어지건 평행하게 옮기는 경우를 P 라고 쓰기로 하자.

P:=\{f\in T_{D}\ |\ f:\pi \rightarrow \pi \ ,\ \forall {\vec {a}}\forall A\in \pi ({\vec {Af(A)}}={\vec {a}})\}

당연히 P \subset T_{D} 다. 그 역은 성립할 수 없다. 평행이동이 모든 옮김 $T_{D}$ 을 대신할 수는 없기 때문이다. 그림에서 삼각형 ABC 가 A'B'C'로 옮겨 갈 때나, 사각형 ABCD가 A'B'C'D' 로 옮기는 경우 이때 그 삼각형이나 사각형의 점들이 모두 평행하게 옮겨기지 않기때문이다.

이 시스템(집합) P 가 어떤 성격을 갖고 있을까? 평행이동에 평행이동을 하면 항상 평행이동일까? 이 말을 다시하면

\forall {\vec {a}},{\vec {b}}\exists {\vec {c}}(f_{\vec {a}}*f_{\vec {b}}=f_{\vec {c}})

라는 문장이 참일까 묻는 말이다. 이때 f와 g 를 정하는 하는 것은 어떤 벡터 ${\vec {a}},{\vec {b}}$ 다. 어떤 도형이 있을 때, 그 도형이 \vec{a} 로 평행이동하고, 다시 \vec{b} 로 평행이동하였을 때, 옮기고 옮긴 것을 나타낼 수 있는 하나의 평행이동으로 나타낼 수 있느냐의 문제다. 결국, 위의 문장이 참인가 아닌가를 결정하는 것은 주어진 두 벡터 ${\vec {a}},{\vec {b}}$ 에 대해 다른 어떤 하나의 벡터 ${\vec {c}}$ 를 정할 수 있을까? 물론이다. 벡터의 합이 바로 그것이다. 옆의 그림을 참고하라.

어떤 벡터들 ${\vec {a}},{\vec {b}}$ 이 결정하는 평행이동들 $f_{\vec {a}},f_{\vec {b}}$ 들을 연속해서 적용할 때, $f_{\vec {a}}*f_{\vec {b}}=f_{\vec {a+b}}$ 이므로 그 결과도 항상 어떤 평행이동이다.

이제 평행이동을 연속해서 적용하는(composition)하는 것은 쓸만한 연산이므로 이 연산에 대해 집합 P 라는 추상적인 시스템이 괜찮은 시스템인지 보자.

집합 P는 합성(composition)에 대해 그룹(group)일까? 그룹과 평행이동의 정의에 따라, 다음을 보이면 충분하다.

$\forall f_{\vec {a}},f_{\vec {b}},f_{\vec {c}}\in P\ ((f_{\vec {a}}*f_{\vec {b}})*f_{\vec {c}}=f_{\vec {a}}*(f_{\vec {b}}*f_{\vec {c}}))$ .
$\exists !{\vec {e}}\forall {\vec {a}}\ (f_{\vec {e}}*f_{\vec {a}}=f_{\vec {a}}*f_{\vec {e}}=f_{\vec {a}})$
$\forall {\vec {a}}\exists {\vec {a^{-1}}}\ (f_{\vec {a}}*f_{\vec {a^{-1}}}=f_{\vec {e}})$

첫번째는 벡터의 성질에 따라, 두번째는 0 벡터, 세번째는 같은 선분에 방향이 반대인 $-{\vec {a}}$ 가 있으므로 세 문장 모두 참이다. P 는 * 에 대해 그룹이다.

Q : Abel 그룹이기도 할까?

모든 자리옮김 $T_{D}$ 이 평행이동 P 은 아니라는 것은 이미 말한대로다. 앞에서 삼각형 A'B'C' 로 바뀐 것도 그렇고 사각형 A'B'C'D'로 옮긴 것은 다른 건 몰라도 어느정도 '돌면서' 옮겼다. 따라서 어떤 점들이 돌면서 옮기는 경우를 보자.

회전과 점대칭

주어진 점을, 도형을, 평면을 '돌린다' 하는 것은 무엇을 뜻할까? 회전한다고 했으니 돌려야 하는 각이 주어져야 하는 것은 물론이다. 각은 어떤 점에서 만나는 두직선이 이루는 도형이므로, 그 기준점을 명확히 하는 것이 중요하다. 아울러 어떤 도형이 주어진 점에서 주어진 각만큼 옮긴다는 뜻을 확실하게 해두기 위해 점에서 떨어진 거리만큼 옮긴다는 사실을 분명하게 밝힌다. 결국 어떤 점을 $\theta$ 각의 크기만큼 옮긴다는 것은 아래와 같이 수학 언어로 나타낼 수 있다.

\forall O\in \pi \forall \theta \ \forall A\in \pi (|OA|=|Of(A)|,\ \angle AOf(A)=\theta )

이때, 주어진 점 O는 f 에도 변하지 않는 유일한 점이다. (invariant point) '회전을 정의하는 가장 중요한 요소는 변하지 않는 점(invariant point) O 와 각의 크기 $\theta$ 이기 때문에 이런 회전을 $f_{O}^{\theta }$ 라고 쓰자. 또 고정점(invariant point) 이 O 일 때 가능한 모든 회전은 $R_{O}$ 라고 나타내기로하자. 그렇다면

$\forall f,g\in R_{O}\ (f*g\in R_{O})$

라는 것은 분명하고 R_{O}은 그룹(group)다. 왜냐하면 $f_{O}^{\theta _{1}}*<math>f_{O}^{\theta _{2}}=<math>f_{O}^{\theta _{1}+\theta _{2}}$ )</math>)</math>)이고,

이 집합의 연산들은도 합성(*)에 대해서 결합법칙이 성립하고,
항등원( $f_{O}^{0}$ )이 있고,
어떤 회전( $f_{O}^{\theta }$ )에 대해서도 역원( $f_{O}^{2\pi -\theta }$ )이 있기 때문이다.

역시 앞에서 했던 질문을 여기서도 .

Q : 집합

R_{O}

은 합성 연산 * 에 대해 Abel 그룹이기도 할까?

그런데, 아래 그림(왼쪽)을 보라.

이것은 고정점이 바뀌면서 회전을 이어서(composition) 하는 경우다. 고정점을 $O_{1},O_{2}$ 로 바꿔가며 회전할 때도 어떤 회전일 수 있다는 사실을 보인 것이다. 그렇다면 '합성(compostion)' 에 대해 회전은 항상 회전일까?

\forall O_{1},O_{2},\ \forall \theta _{1},\theta _{2}\exists O,\theta \ (f_{O_{1}}^{\theta _{1}}*f_{O_{2}}^{\theta _{2}}=f_{O}^{\theta };\quad f_{O}^{\theta }\in R)

?

주어진 $O_{1},O_{2},\theta _{1},\theta _{2}$ 에 대해, 어떻게 O 와 $\theta$ 를 찾을 것인지 작도를 보여보라.

이제 이런 모든 '회전' 이동을 모아놓은 집합을 R 이라고 쓰기로 하자. 집합 R 이 '옮기기'라는 것을 보이는 것은 어렵지 않은 일이다. (분명하게 밝혀보라.) 따라서 아래 관계는 분명하다.

R\subset T_{D}

그렇다면 그 역은 참일까? 혹시 기준이 되는 점 O 와 각을 바꿔가면서 이어서 해보면 모든 '자리옮김'을 설명할 수 있지 않을까? 그럴 듯하다. 예를들어 앞의 (오른쪽) 그림에서 보면 흥미로운 사실을 알 수 있다. 어떤 도형을 $\pi$ 만큼 돌리고 다시 $\pi$ 돌리면 ${\vec {a}}$ 만큼 평행이동과 같게 할 수 있다. 또 $\theta$ 만큼 회전하고 $-\theta$ 만큼 회전하면, 또는 두 각의 합이 $2\pi$ 면, 이것으로도 ${\vec {b}}$ 평행이동 을 얻을 수 있다. 더 정확히 나타내면,

f_{O_{1}}^{\pi }*f_{O_{2}}^{\pi }=2f_{\vec {O_{2}O_{1}}}

이것으로부터 자연스럽게 드는 호기심.

모든 평행이동을 회전으로 대신할 수 있을까? 다시 말해

P\subset R

?

마침내,

R=T_{D}

?

앞에서 점 O 를 중심으로 회전각을 $\pi$ 만큼 하는 경우를 다른 말로 점 O 에 대한 '점대칭(또는 중심대칭)'이라 한다.

직선 대칭

지금까지 본 옮기기의 두 방법은 하나의 공통점이 있다. 이 공통된 특성 때문에 오늘쪽 그림같은 옮기기는 불가능하다. 그림에서 옮긴 조건을 분명하게 쓰면 이렇게 된다. 직선 l 에 대해 한쪽 반평면에 있던 모든 점이 다른쪽 반평으로 옮기되 아래의 조건을 지키는 옮김이다.

Af(A)\perp l,\quad |AO|=|Of(A)|

여기서 O 는 옮기는 점 A 과 옮긴 후의 점 f(A) 가 평면을 둘로 가르는 직선 l 과 만나는 점이다. 이렇게 옮기면 거울처럼 반사된다. 그래서 이를 어떤 직선 l에 대한 직선 대칭 이라고 부르기도 하고, 거울에 비춘 것처럼 하고 있다고 해서 반사(reflection) 라고 부르기도 한다. 우리는 직선 대칭이라는 말을 주로 쓰겠다. 이렇게 옮긴 것이 정말 '자리옮김(이동)'이라 할 수 있을까? (확인해보라)

주어진 l 이 변환의 열쇠가 되는 이 옮김의 형태는 이 전에 보았던 두개의 옮김과 근본적인 차이가 있다. 화살표의 방향으로 도형의 '방향'이 바뀐다는 것이다. 위의 그림처럼 삼각형 ABC 가 시계 반대 방향으로 A, B, C 의 순서였다면, 옮긴 도형은 새로운 삼각형은 시계방향으로 A, C, B 가 된다. 이것은 어떤 회전으로도 얻을 수 없다. 또한 이것을 구현하기 위해서는 평면을 떠나야 한다. 3차원 공간에서 들어서 방향을 바꾸어 옮겨야만 한다. 이 옮김도 정의했듯 평면에서 평면으로 규칙에 따라 대응시킨 것이지만, 실제로 그렇게 옮기려면 3차원을 전제로 해야만 한다. 따라서 '옮김'은 옮긴 후 '방향'의 관점에서 둘로 나뉜다. 앞의 두 옮김의 형태들을 묶어서 + 방향이라 하고, 직선 대칭 같은 옮김을 - 방향이라고 하고 $T_{D,+},T_{D,-}$ 라고 쓰기로 하자.

T_{D}=T_{D,+}\cup T_{D,-}

.

새로운 상황이 발생한 것이다. 앞에서 던졌던 질문들을 조금 다듬어야 필요가 있다. 우선 $P\subset T_{D}$ 또는 $R\subset T_{D}$ 은 분명하니, 이렇게 물어보자.

+ 방향 옮김( $T_{D,+}$ ) 은 항상 평행이동과 회전으로만 되어있을까?

- 방향 옮김( $T_{D,-}$ ) 은 '직선대칭' 만 있을까?

방향에 따라 '+ 방향'은 '직접 자리 옮김(Direct rigid motion)' 으로 - 방향은 간접(Indirect)으로 부르기도 한다.

첫번째 질문에 대한 답은 미셀 샬(M.Chasles)^[1]의 정리로 나타난다. (증명해보라)

샬의 정리 : + 방향옮김은 평행이동이나, 회전이나, 그 둘의 합성 밖에 없다.

그렇다면 두번째 질문은? 방향이 바뀌면서 옮기는 경우는 반사만 있을까? 물론 그렇지 않다. 오른쪽 그림을 보라. 대칭한 다음 평행이동한 경우다. 그래서 '미끄러짐(Gliding)' 이라 부른다. 이런 대칭은 결코 직선 대칭이 아니다. 방향이 바뀌었으니 평행이동이나 회전도 불가능하다. 새로운 게 하나 더 나왔다. 이것들에 대해 더 보기 전에 먼저 아래 내용들을 확인해보라. 주어진 직선 l 에 대한 직선 대칭이동을 $f_{l}$ 과 같은 식으로 써겠다.

어떤 직선 l 이 주어졌을 때, 어떤 점 X을 이 직선에 대해 대칭해서 옮기는 것을 자와 컴퍼스로 작도해보라.
$f_{l_{1}}*f_{l_{2}}$ 은 어떻게 될까? 두 직선이 평행한 경우와 그렇지 않은 경우로 나눠 생각해보라.
모든 '직선대칭'들의 집합 S 은 그룹(Group)일까? Abel 그룹일까?

미끄러지는 대칭 이동

'미끄러짐'에 대해서는 이미 말했다.

정의 (미끄러짐) : 직선 l 과 그것과 평행인 0이 아닌 어떤 벡터

{\vec {a}}

가 주어지면 직선 l 에 대칭이동하고 평행이동의 합성을 '미끄러짐 이동'이라 한다.

그래서 이것을 $f_{l,{\vec {a}}}$ 로 써보자. 미끄러짐의 정의는 특별해보인다. 굳이 평행이동과 합성한다는 것이 작위적인 면도 있다. 그런데 - 방향으로의 이동 중 직선대칭이 아닌 이동은 바로 '미끄러짐'이다. 다시 말해 - 방향 이동은 직선대칭과 미끄러짐 밖에 없다. 이를 보이기 위해서는

'- 방향으로 옮기기'는 항상 미끄러짐으로 표현할 수 있다.

를 분명하게 밝혀야 한다. (증명해보라)

f_{l_{1},{\vec {a}}}*f_{l_{2},{\vec {b}}}

은 어떻게 될까? 주어진 직선 $l_{1},l_{2}$ 와 벡터들 ${\vec {a}},{\vec {b}}$ 들이 가질 수 있는 여러 가능한 경우(평행이냐 아니냐)들에 대해 보라.

합성

지금까지 네가지 가능한 이동의 경우를 보았다. 샬의 정리와 앞의 미끄러짐에서 보았듯이, 이동은 위의 네가지 밖에 없다.

자리옮김은 평행이동, 회전, 직선대칭, 미끄러짐만 있다.

여기서는 이 네 방법의 합성한 결과들은 어떻게 될지 살펴보자. 이미 보았던 것은 빼고. (이 합성들은 교환법칙도 성립할까?)

$f_{\vec {a}}*f_{O}^{\theta }$ = ?
$f_{l}*f_{O}^{\theta }$ = ?
$f_{\vec {a}}*f_{l,{\vec {b}}}$ = ?
$f_{O}^{\theta }*f_{l,{\vec {a}}}$ = ?

직선 대칭을 시킬 때 적당한 직선들을 잡으면 직선이동과 그 합성으로 모든 이동을 나타낼 수 있다.

직선대칭과 그것의 합성으로 평행이동, 회전, 직선대칭, 미끄러짐을 표현할 수 있다.

게다가 세 번 이하의 직선대칭으로 모든 이동을 표현할 수 있다. 앞의 그림을 참고하여 정확히 밝혀보라. 평행이동과 직선대칭으로 미끄러짐을 설명할 수 있으므로, 그림에서 미끄러짐은 뺐다.

응용 : '이동' 의 개념을 빌어 기하문제를 '쉽게' 풀다

모든 기하학적, 어쩌면 수학적 성과에서 가장 기초적이고 유명한 정리인 피타고라스 정리 를 유클리드가 증명(Elements, 1권 47번 정리) 을 보자. 이 정리를 유클리드가 증명할 때는 어디서도 '자리옮김'의 경우는 없었다.^[2] 이 정리는 그러나, 삼각형 FAB와 삼각형 CAE가 '회전하여 옮기면' 겹친다는 것을 보일 때 매우 간단히 증명된다 !

물론, 이것 뿐만 아니다. (Geomtery Revisited 참고)

회전의 응용

Note

↑ 포아송의 제자. 위키페디아자료
↑ 왜 그랬을까? 유클리드가 증명 참고.

Transformation 로

[1] 포아송의 제자. 위키페디아자료

[2] 왜 그랬을까? 유클리드가 증명 참고.

[1]

[2]