Irrational Decimal

자연수의 세계를 너머

수의 확장 : 무리수 - 10진법 무한 소수 표현

우리는 수의 확장 : 정수와 유리수 세계 에서 유리수를 정의하고 표현하는 방법까지 말했다. : 어떤 정수 a , b 에 대하여 b 가 0 이 아닐 때,

bx = a

가 참이 되는 수 x 를 유리수로 정의하고 그것을 기호로

${\frac {a}{b}}$

나타내기로 했다. 이 방법 유리수를 결정하는 두 정수에 대한 정보가 고스란히 남아 있다. 주어진 두 정수 a와 b의 관계를 나타내는 셈이다. 그리고 무리수-서로 나눌 수 없음 에서 조금 다르게 유리수를 정의해보았다. 1 과 서로 잴 수 없는 관계인 수들이 무리수인게 된다. 이런 수는 어떻게 표현할 수 있을까? '${\frac {a}{b}}$ 로 표현이 안되는 수' 이면 되는데 이런 식의 정의나 표현법은 유리수를 부정함으로써 정의하는 수동적인 방법이다. 이를 보다 적극적이고 긍정적으로 나타낼 방법은 없을까?

끝이 있는 10진법 소수점 표현 (10진법 유한 소수점 표현)

유리수 ${\frac {a}{b}}$ 를 '빵 하나를 b 개로 쪼개서 그 중 a 개 만큼' 이라는 모델로 해석해 보면, 1 단위(unit)를 어떤 정해진 'b'로 쪼갠다고 가정하고 있다. b 가 바뀔 때마다 다르게 적용된다. 따라서 기준을 미리 제시하지는 않는다. 대신 1 단위(unit)를 쪼개는 기준을 고정시키면 어떻게 될까? 생각을 바꿔, 어떤 수 b 를 미리 지정해놓고 a 를 변화시켜보는 것이다. 그러면서 유리수가 그 안에 충분히 있게 하는 방법을 생각해보는 것이다. ('유리수를 건져올릴 그물망을 짜는 것이다') 우리는 10진법 체계를 따르고 있기 때문에 1을 10 조각으로 쪼갠다고 해보자. 그렇다면 ${\frac {1}{10}}$ 들이 하나, 둘, 셋, ... 있을 수 있으므로, 0과 1 사이에는

${\frac {1}{10}},\ {\frac {2}{10}},\ {\frac {3}{10}},\ \dots ,\ {\frac {9}{10}}$

이 있다. 물론 다음은 1일 것이고 그 다음은

${\frac {11}{10}},\ {\frac {12}{10}},\ {\frac {13}{10}},\ \dots ,\ {\frac {19}{10}}$

로 끝없이 갈 것이다. 굳이 멀리까지 안보고 우리는 0과 1 사이에서만 보더라도 이런 방식으로 볼 수 있는 수는 고작 9개다. 이렇게만 해서는 모든 유리수를 나타내기엔 턱없이 부족하다. 그래서 이번에는 쪼갠 것을 다시 10 조각으로 쪼개자. 그렇다면 0과 1 사이는 100조각으로 쪼개질 것이고,

${\frac {1}{100}},\ {\frac {2}{100}},\ {\frac {3}{100}},\ \dots ,\ {\frac {99}{100}}$

이다. 이제 99개까지 표현할 수 있는 방법을 늘렸다. 여기서 표현하는 어떤 수도 모두 유리수라는 것은 분명하다. 그러나 0과 1 사이의 유리수를 수직선 상의 점으로 나타내려면 아직 멀었다. 멀어도 너무 멀었다. 쪼갠 것을 다시 10 조각 내고 그 쪼갠 것을 다시 10조각 내는 과정을 n 번 반복했다고 해보자. 그렇다면,

${\frac {1}{10^{n}}},\ {\frac {2}{10^{n}}},\ {\frac {3}{10^{n}}},\ \dots ,\ {\frac {99\cdots 99}{10^{n}}}$

일 것이다. 마지막 수에서 9의 개수는 $10^{n}-1$일 것이다. 유리수의 그물망을 점점 세밀하게 짜들어가고 있다. 자, 그렇다면 이제까지 건져올린 유리수를 보자. 예를들어 1보다 작은 유리수들 중

${\frac {1}{2}},\ {\frac {3}{10}},\ {\frac {3}{25}},\ \dots$

과 같은 수들은 모두 걸려 들었다. 다시 말해 이 수들을 0 과 1 사이에 $10^{n}-1$의 점들에 정확히 대응시킬 수 있다는 것이다. 왜냐하면 수의 확장 : 정수와 유리수 세계에서 보았듯이

${\frac {5}{10}},\ {\frac {3}{10}},\ {\frac {12}{100}},\ \dots$

'통분'을 하면 금방 알 수 있다. 그런데 이 표현은 우리가 자연수의 표현에서 보았듯이 더하기-자리수법의 확장이라고 볼 수 있으므로 위에 써진 기호들은 다음과 같이 수들의 합으로 표현할 수 있다. 예들들어 ${\frac {12}{100}}$는

${\frac {3}{25}}={\frac {12}{100}}={\frac {10}{100}}+{\frac {2}{100}}={\frac {1}{10}}+{\frac {2}{100}}$

이런 표현을 간편하게 하기 위해 0.12 로 쓰자. 예를 더 들어보면

${\frac {123}{1000}}={\frac {1}{10}}+{\frac {2}{10^{2}}}+{\frac {3}{10^{3}}}:=0.123$

이다. 1보다 더 큰 수 ${\frac {7}{4}}$를 예로 들어 보자.

${\frac {7}{4}}={\frac {7\cdot 25}{4\cdot 25}}=1+{\frac {7}{10}}+{\frac {5}{10^{2}}}:=1.75$

이제 '10진법 소수점 표현'을 정의할 기초적인 땅고르기는 다 된 것 같다. 일반화시켜 정의해보자. 설명을 간단히 하기 위해 양의 유리수에 대한 정의로 보고 음의 유리수는 마찬가지다.

정의 (십진법 소수점 표현) : 어떤 수 $\alpha$ 를 다음과 같이 표현할 때 이를 '10진법 소수점 표현'이라 한다.

$\alpha :=a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{m}$

여기서 i 는 0부터 n 까지의 자연수, j는 1 부터 m 까지의 자연수 중 어떤 수라하면, $a_{i}$ 나 $b_{j}$는 0 부터 9 까지의 숫자다. 단, n 이 0 이 아니라면, $a_{n}$ 도 0일 수 없다. m 은 어쨌든 어떤 자연수 일 테니까, 이 과정은 m 에서 끝이 난다는 것을 뜻한다. 이를 끝이 있는 10진법 소수점 표현이라고 부르기로 하자.

이 표현이 뜻하는 수는

$(a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_{1}10^{1}+a_{0})+\left({\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{m}}{10^{m}}}\right)$

다.

이제 이런 표현법은 우리가 목표로 했던 수를 표현하는데 필요하고도 충분할까? 유리수로 표현할 수 없는 수에 대한 질문은 두고라도 우선 우리가 이미 정의했던 유리수에 대해서만 보자.

• 끝이 있는 10진법 소수점 표현법으로 표현한 모든 수는 유리수일까?
• 모든 유리수는 이 표현법으로 표현될까?

첫번째 질문은 당연히 '그렇다'이다. 두 번째도 물음에도 '그렇다' 였다면 유리수는 '끝이 있는 10진법 소수점 표현'이라고 말해도 상관이 없을 것이다. 그런데 두번째 질문은 '아니올시다' 이다. 예들들어

${\frac {1}{3}},\ {\frac {4}{7}},\ {\frac {1}{11}},\dots$

같은 수들처럼 분모에 어떤 정수를 곱해도 $10^{k}$ 가 되는 k를 찾을 수 없다. (위의 예에 드러난 세 수가 10진 소수점 표현법으로 나타낼 수 없다는 것을 구체적으로 증명해보라.) 이런 수들은 끝이 있는 10진법 소수점 표현법으로 나타낼 수 없는 것이다.

우리의 표현 방법이 아직 충분하지 않다는 것을 말해준다. 괜찮았는데 미끄러졌다. 잘 다듬어보자.

끝없는 10진법 소수점 표현 (10진법 무한 소수점 표현)

사실 위에서 '끝이 있는 10진법 소수점 표현'이 모든 유리수를 다 표현할 수 없다는 것, 다시 말해 그 그물망으로는 유리수를 다 건져 올릴 수 없다는 것은, 뻔한 사실이다. 왜냐하면 0과 1사이에만 해도 아무리 작은 구간을 잡아도 그 안에는 유리수가 반드시 존재할 만큼 많은데 위의 표현법으로는 유한개의 수만을 표시하기 때문이다. 그렇게 '미끄러져 빠져나가는' 유리수 a 는

어떤 m 에서도

${\frac {l}{10^{m}}}<a<{\frac {l+1}{10^{m}}}$ 인 $l$을 찾을 수 있다.

예를 들어보자.

${\frac {3}{10}}<\ {\frac {1}{3}}<\ {\frac {4}{10}}$		${\frac {5}{10}}<\ {\frac {4}{7}}<\ {\frac {6}{10}}$
${\frac {33}{10^{2}}}<\ {\frac {1}{3}}<\ {\frac {34}{10^{2}}}$		${\frac {57}{10^{2}}}<\ {\frac {4}{7}}<\ {\frac {58}{10^{2}}}$
${\frac {333}{10^{3}}}<\ {\frac {1}{3}}<\ {\frac {334}{10^{3}}}$		${\frac {571}{10^{3}}}<\ {\frac {4}{7}}<\ {\frac {572}{10^{3}}}$
$\ldots$		$\ldots$

그렇다면 우리의 10진법 소수표현은 유리수조차 다 표현 못하는, 허술하고 '빈약한' 언어일까? 이 표현법이 한계를 가진 것은 끊없이 많은 유리수를, 제아무리 m을 높여 잘게 쪼갠다 해도 m 이 정해지는 한, 그 쪼개기가 끝이 있기 때문이다. 우리가 m 을 점점 크게 한다면 그만큼 우리의 그물은 촘촘해지고 그만큼 더 많은 유리수를 표현할 수 있을 것이다. 그리고 이 과정을 계속해 간다면, 다시 말해, 이 과정을 '끝없이' 계속해 간다면 우리는 정확히, 어떤 단계 m에서 ${\frac {l}{10^{m}}}$ 으로 대응시켜 건져 올리지는 못하더라도 모든 유리수를 건져 올릴만큼 포위망을 좁혀들어가 집게로 집어 올리듯 건져 올릴 수 있다. '근사적으로' 유리수를 나타내보는 것이다. 위의 예에서

${\frac {333\cdots 333}{10^{m}}}<\ {\frac {1}{3}}<\ {\frac {333\cdots 334}{10^{m}}}$

보다는

${\frac {333\cdots 3333}{10^{m+1}}}<\ {\frac {1}{3}}<\ {\frac {333\cdots 3334}{10^{m+1}}}$

까지 더 잘게 쪼개면서 그만큼 ${\frac {l}{3}}$ 에 근사한 값을 찾아가는 것이다. 이렇게 쪼개기를 '끝없이'(?) 여러번 할 수 있다는 것을 가정한 방법이 10진법 무한 소수점 표현이라 부르자.

주의 ! 이때 유리수만 걸려 올라오는 것이 아니라, 엄청나게 많은 다른(!) 수들도 따라 올라온다!

다시 정리하면 아래와 같다.

정의 (10진법 무한 소수점 표현)  : 어떤 수 $\alpha$ 를 다음과 같이 표현할 때 이를 ' 10진법 무한 소수점 표현'이라 한다.

$\alpha :=a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{m}b_{m+1}b_{m+2}\cdots$

근사적으로 같다 : 수렴

이 주제에 대해 이해하기 위해서는 다소 논리적 엄밀성이 떨어지더라도 아래 내용을 먼저 이해할 필요가 있다. 우리는 앞으로 수렴에서 구체적인 내용에 대하여 수학적으로 더 엄밀하게 정의할 것이다.

어떤 수의 열이 있다고 하자.

${\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}},\ {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}},\dots$

이 수열에 있는 수들은 처음엔 ${\frac {1}{2}}$로 시작하면서 항이 더해져가니 점점 커져간다. 그런데 더해져가는 항이 아주 작은 수만큼만 작아지는 특성이 있다. 위의 수열에 n번째 있는 항을 $s_{n}$ 이라고 한다면,

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

일 것이다. 그렇다면 이 수의 두 배는

$2s_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}$

이고 따라서

$2s_{n}-s_{n}=s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$

만 남는다. 이는 n 이 엄청나게 큰 수면 1과 거의 차이가 나지 않는다는 말이다. 왜냐하면 n 이 크면 클수록 ${\frac {1}{2^{n}}}$ 은 0과 아주 가까운 수일테니까. 이를 근사적으로 같다 라고 부르자.

이를 더 일반적으로 보면

$s_{n}=a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots +aq^{n}$

$qs_{n}=aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\cdots +aq^{n+1}$

$s_{n}-qs_{n}\ =\ a-aq^{n+1}$

$s_{n}={\frac {a(1-q^{n+1})}{1-q}}$

이다. 따라서 $-1<q<1$ 이라면 n이 커지면 커질수록 $q^{n+1}$는 0 에 근사적으로 같게 될 것이다. 이것은 직관적으로 이해가 될 경우 받아들이면 된다. 만약 그렇지 않다면 앞으로 수렴에서 배울 때 수학적으로 엄밀하게 보일 수 있다.

반복이 있는 10진법 무한 소수점 표현 : 순환소수

쪼개가는 과정을 끝없이 하면 결국 어떤 유리수든 표현할 수 있다. 왜 그런가? 10진법 무한 소수점 표현법으로 $0.333\cdots$ 이 어떤 수인지 보자.

$0.333\cdots :={\frac {3}{10}}+{\frac {3}{10^{2}}}+{\frac {3}{10^{3}}}+\cdots$

로 끝없이 더해가는 수를 보자. 이 수가 아직은 무엇인지 모호하니 x 라 하면,

$10\cdot x:=3+{\frac {3}{10}}+{\frac {3}{10^{2}}}+\cdots$

이고 10x 에서 3 나머지 분수꼴은 모두 x 에서도 반복해서 나오기 때문에

$10\cdot x-x=9\cdot x=3$

이므로

$10\cdot x-x=9\cdot x=3$

$x={\frac {1}{3}}$

이다. 무한히 쪼개면서 유리수인 ${\frac {1}{3}}$ 을 소수점 표현으로 나타낸 것이다.

그리고, 10진법 유한 소수점으로 나타내는 모든 유리수는 당연히 10진법 무한 소수점 표현으로도 가능하다. 왜냐하면,

$\alpha :=A+\left({\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{m}}{10^{m}}}\right)=A+\left({\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{m}}{10^{m}}}+{\frac {0}{10^{m}}}+{\frac {0}{10^{m+1}}}+\cdots \right)$

이기 때문이다. 여기서 A는 $a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_{1}10^{1}+a_{0}$ 이다. 다시 말해 0을 반복시키면서 더해가면 된다. 10진 유한 소수점 표현으로 나타내지 못한 ${\frac {1}{3}}$을 무한 소수점 표현으로 나타낸 경우와 유한 소수점 표현으로 나타낸 유리수의 표현을 보면 공통점 있다.

$\alpha :=A.b_{1}b_{2}\cdots b_{m}000\cdots :=A+\left({\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{m}}{10^{m}}}+{\frac {0}{10^{m}}}+{\frac {0}{10^{m+1}}}+\cdots \right)$

${\frac {1}{3}}:=0.333\cdots :=0+\left({\frac {3}{10}}+{\frac {3}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {3}{10^{m}}}+{\frac {3}{10^{m}}}+{\frac {3}{10^{m+1}}}+\cdots \right)$

바로 '주기적으로 반복되는 부분' 또는 '순환하는 부분'이 등장한다는 것이다. 이런 유형의 소수점 표현을 보다 정확히 정의해보자.

정의 (순환 소수표현) : 무한 소수표현에서 다음 조건을 만족하는 m, n 인 자연수가 있으면 이를 '반복이 있는 무한 소수점 표현' 또는 간단히 '순환 소수표현'이라 한다.

$\forall i>n\ (b_{i}=b_{i+m})$

그렇다면 다음과 같은 정리를 유추할 수 있다. 일단 가설을 세워 보는 것이다.

정리 : 순환 소수로 표현된 모든 수는 유리수고, 모든 유리수는 순환소수로 표현할 수 있다

이 정리가 참이라면 결국 유리수를 나타낼 수 있는 또 하나의 필요하고도 충분한 조건을 제시한 셈이다. 실제로 위의 문장은 참이다.

• 순환 소수로 표현된 모든 수는 유리수다.

- 어떤 수 $\alpha$ 가 아래와 같이 순환 소수로 표현되었다고 하자. $c_{1}c_{2}\cdots cb_{n}$가 주기적으로 반복되는 부분이다.

$\alpha :=A.b_{1}b_{2}\cdots b_{m}c_{1}c_{2}\cdots c_{n}c_{1}c_{2}\cdots c_{n}c_{1}c_{2}\cdots c_{n}\cdots$

$\alpha :=A+\left({\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{m}}{10^{m}}}\right)+\left({\frac {c_{1}}{10^{m+1}}}+{\frac {c_{2}}{10^{m+2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{10^{m+n}}}\right)+\left({\frac {c_{1}}{10^{m+n+1}}}+{\frac {c_{2}}{10^{m+n+2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{10^{m+2n}}}\right)+\cdots$

${\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{m}}{10^{m}}}$를 B 라 하고

${\frac {c_{1}}{10^{1}}}+{\frac {c_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{10^{n}}}$을 C라 하면

$\alpha :=A+B+{\frac {C}{10^{m}}}\left(1+{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{2n}}}+\cdots \right)$

$\alpha :=A+B+{\frac {C}{10^{m}}}\left({\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}\right)$

- 따라서 $\alpha$ 는 ${\frac {a}{b}}$ 꼴로 나타낼 수 있는 유리수다.

• 모든 유리수는 순환 소수로 표현할 수 있다.

${\frac {a}{b}}$ 인 유리수가 있다고 하자. 정의대로 하면, a 에서 b 로 나눠간다는 말이다.

- 어디선가 나머지가 0이라면 이는 10진법 유한 소수점 표현이라는 뜻이다. 앞에서 말했듯이 이는 무한 순환 소수 표현으로 바꿀 수 있다.

- 0 이 아닌 나머지들이 계속 나온다면 순환 소수 표현이다. 이 과정이 아무리 많아지더라도 나머지는 1, 2, ..., b-1 중 하나일 것이다.

- 따라서 기껏해야 b-1번이 나오기 전에 순환하는 마디가 발견된다. 최소 b번을 나눗셈을 하게 되면 같은 나머지는 꼭 발생한다. 순환 소수로 표현할 수 있다.

${\frac {1}{3}},\ {\frac {1}{7}},\ {\frac {1}{11}},\ {\frac {123}{999}}$ 같은 수들로 확인해보라.

10진법 무한 소수점 표현 전체에서 '순환하는 마디가 있는' 표현만으로 모든 유리수를 표현하는 것이다. 그렇다면 순환하는 마디가 있다고 할 수 없는 수는 ? 그것은 당연히 유리수가 아니다.

한 유리수를 무한 소수로 표현하는 방식이 둘이다

이미 눈치를 챘을지 모르겠다. '유리수' 뿐만 아니라 '무리수'까지 표현할 수 있게한 '10진법 무한 소수점 표현'은 한가지 문제가 있다.

유리수와 10진법 무한 소수 표현법이 1:1로 대응하지 않는다.

예를 들어

$1=0.999999\cdots =1.00000\cdots$

이고

${\frac {1}{2}}=0.500000\cdots =0.499999\cdots$

다. 이는 수를 더 엄격하게 표현하기 위하여 '무한'이라는 모호한 개념을 받아들이면서 치러야 하는 댓가인지도 모른다. 하지만, 다행히 하나의 표현이 두 개의 유리수를 나타내는 경우는 없으므로 그리 치명적인 단점이라고 할 수는 없다. '무한'과 관련된 개념을 더 확실하게 해야 하는 것이 과제로 남았다고 볼 수 있다. 게다가 0이 계속해서 반복하는 경우는 매우 사소한(trivial) 경우리 무시한다면 1:1 대응은 지켜진다.

무리수는 소수점 표현으로 순환 없이 끊없이 계속 되는 수다.

바로 앞에서 우리는 모든 유리수를 표현하는 정의를 얻은 것이고 따라서 그렇게 표현안되는 수는 '유리수가 아니다.' 그렇게 표현 안되는 수란 10진법 무한 소수점 표현이면서 주기적으로 반복되는 부분이 안나오는 수를 말한다. 이 전에는 무리수를 단지 '유리수가 아닌수'라고 표현했지만, 이제는 무리수를 '표현'할 방법이 생긴 것이다. 예를들어

$\pi ,\ e$

같은 수들이다. 꼭 이런 '이상한' 수들만이 아니라, 얼마든지 만들어낼 수 있다.

${\sqrt {2}},\ {\sqrt[{5}]{3-{\sqrt {2}}}},\ 5.235490005384591\cdots ,\ 111.11223344044551196870\cdots ,\ \ldots$

이런 수들에 대하여 대수적 수와 초월수 부분에서 더 자세히 말하기로 한다.

이렇게 무리수를 이해하는 방식은 17세기 이후 수학의 세계에 해석기하가 탄생하고 미분법, 적분법이 발달하면서 괜찮은 논리적 '기초'로 여겨졌다. 그러나 수학의 세계를 더 깊이 더 넓게 탐구해 들어가면 이런 방식도 논리적 기초가 여전히 불안하다. 몇가지 지적해보자.

• '무한'이라는 개념은 과연 무엇인가? '근사적으로 같은 것은 같다'라는 것은 충분히 납득할 수 있는가?
• 이런 식의 표현이 정말로 수직선의 모든 점들을 나타낼 수 있나?
• 수의 표현으로 수를 나타내는 것은 타당한가? 우리의 10진법 표현법은 충분히 좋은 표현법인가?

q진법 무한 소수 표현법

우리는 앞에서 항상 10진법 표현으로 수를 표현했지만, 당연히 이는 특수한 경우일 뿐, 꼭 이렇게 해야할 이유는 없다. 2 진법이라면 1 단위를 둘로 쪼개고, 쪼갠 것을 다시 둘로 쪼개가는 과정이 반복된다는 것을 말하고 7진법이라면 1 단위롤 7개로 쪼개는 과정이 반복되는 것일 뿐이다. 어떤 q 에 대해서도 q-진법 무한 무한 소수 표현법으로 모든 유리수와 유리수가 아닌 것 까지 표현할 수 있다는 것은 분명하다. 왜냐하면 앞에서 우리는 10이라는 수의 개념이 특별한 역할을 하지 않았기 때문이다.

대신 구체적인 예에서는 다듬어야 할 부분이 있겠지만 큰 틀은 그래도 유지된다.

• q진법 무한 소수 표현법의 예

무한 소수 표현은 실수를 충분히 잘 정의하나?

무한소수로 표현하는 방법은 유리수와 무리수를 나타내는 방법으로 오래전부터 받아들여진 개념이다. 하지만 앞에서 말했다시피 이 방법도 실수를 정의하는데 여전히 논리적인 기초가 튼튼하지 않다. 앞에서 이미 말했듯이 실수를 정의하기 위해 더 이상 의심할 수 없는, 또는 의심할 여지가 적은, 논리적으로 타당한 방법을 제시한 것은 19세기의 수학자들이다. 무한의 개념을 보다 분명하게 하면서 보다 깊이 실수 개념을 분석한 칸토르 , 수열의 수렴 개념을 보다 엄밀하게 하면서 이를 통해 실수를 정의하는데 기여한 꼬쉬, 그리고 집합의 절단 개념을 도입하여 유리수로 부터 실수를 정의하는데 성공한 데데킨트 같은 수학자들이 바로 그들이다. 실수에 대한 보다 엄밀한 개념을 생각할 때다. 우선 '집합'이니, '절단'이니 하는 추상적 개념을 사용하는 '데데킨드 절단'이 어떻게 실수를 정의하고 그 연산을 정의할 수 있는지 살펴본다.

(기회가 닿으면 꼬쉬의 정의도... )

더 보기

• 순환소수의 성질

- 분모가 2 또는 5 로만 나뉠 수 있는 유리수는 점 다음에 쓰이는 숫자가 끝 날 수 있다.

- 분모가 2 로도 그리고 5 로도 나눌 수 없는 유리수는 점 바로 다음부터 순환 마디가 시작되어 끝없이 계속된다.

- 분모가 2 또는 5로 나뉠 수 있고, 다른 소수로도 나뉠 수 있는 유리수는 순환 마디가 있지만, 점 바로 다음부터 순환마디가 시작하지는 않는다.

- 페르마 소정리 와 순환 소수의 관계

- 점 바로 다음에서 순환 마디가 시작하는 유리수의 흥미로운 성질

• 정수와 유리수의 정의

- 유리수의 정의.

- 유리수 나타내기 : 분수로 나타내기.

Note

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