Geo Unsolv Construction

작도 가능 으로

작도 불가능성

고전적인 3대 작도 문제( Cube의 두 배인 Cube 작도, 각의 삼등분, 원과 면적 같은 정사각형 작도)는 수천년 동안 풀리지 않았다. 비록 그 수천년 동안 문명이 흥한 곳이면 어디든 그 문제는 수많은 지성인들을 유혹했으나 결코 호락호락 자신의 비밀을 풀어 놓지 않았다. 그도 그걸 것이 이 세 문제 모두 '불가능하다' 고 밝혀졌고, 불가능성은 '어떤 가능한 방법도 없음'을 보여야 하기 때문에 기하학 안에서는 풀어내기 어려웠을 것이다. 이 증명을 위해서는 도형의 세계의 성질을 대수의 언어로 옮겨 푸는 새로운 사고의 전환이 필요했고, 수론과 대수학의 언어 자체가 충분히 발달하여야 했으며 그것들을 발전시켜 이정표를 제시할만한 천재를 기다려야 했던 것이다. 기하학 문제를 방정식이나 함수의 언어에 실어 사고하게 된 결정적 발걸음을 뗀 것은 17세기의 문턱을 넘어서던 때다. 페르마나 데카르트가 전후로 유클리드 평면을 '좌표'로 나타내는 모델이 등장하고 나서였다. 이 언어에서 '점'은 좌표의 축으로 결정이 되었고 도형들도 대수적으로 표현할 수 있게 되었다.

그러나 아직 충분하지 않았다. 18세기와 19세기의 문턱을 넘어서던 시기, 수천년간 풀리지 않던 기하학의 작도 문제가 풀리게 된다. 다름아닌 '정17각형의 작도 가능(가우스)' 문제 였는데 주역은 새파란 청년 가우스 였다. 이 문제를 푼 것에 고무되어 가우스는 인생 행로를 수학으로 정했다고도 한다. 그는 죽을 때 까지 자랑스러워 했고 유언으로 묘비를 정 17각형으로 만들어달라고 할 정도였다. 복소수와 이차방정식과 같이 대수학의 언어로 풀었던 이 수학사적 사건은 다른 주요 작도 문제를 푸는 길로 가는 이정표의 역할을 했다. 아울러 수론과 대수 세계가 빠른 속도로 발달해 갔다. 이 과정에서 그 이전에는 생각할 수 없었던 비밀들이 하나둘 드러나면서 고전 작도 3대 문제도 하나둘 해결된다.

앞에서도 이야기했듯 이미 고대 그리스 시대에도 '순수한' 자와 컴퍼스로는 작도 불가능하리라고 짐작하였던 것으로 보여지지만 어쨌든 자와 컴퍼스로 작도하려는 시도는 계속 되었다. 19세기와 20세기는 '한계'을 증명한 시대라고 할 수 있을지 모른다. 앞의 두 문제가 작도불가능하다 것을 최종적으로 밝힌 사람은 19세기 중반 삐에르 완쩰(Pierre Wantzel;1814-1824)이, 세번째 문제는 19세기 후반 $\pi$가 초월수라는 '수 세계의 비밀'을 린더만(Lindeman)이 밝히면서 수천년을 이어온 고전적 3대 작도 문제는 종지부를 찍는다.

자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 문제들

작도 가능은 주어진 정보에서 정해진 도구로 단계 단계 새로운 정보를 추가하여 마침내 문제에서 제시한 정보를 찾아내는 '알고리듬'이라 할 수 있다. 방정식 처럼, 어떤 알고리듬을 세밀하게 분석한 후 대수적 언어로 바꾸었을 때 비로소 '작도 가능한 모든 문제'에 대한 기본적인 성격을 밝힐 수 있었다. '작도 문제'의 정의를 다시 끄집어 내보면

• 주어진 유한개 점의 집합으로부터
• 분명히 정해진 기능을 하는 도구를 사용하여
• 단계마다 새로운 점을 추가하면서
• 유한번 단계를 거쳐
• 마침내 목표로 하는 유한개 점들을 찾아내는 (또는 만들어가는)

문제다. 여기서 '새로운 점을 추가'한다는 것은 도구를 이용해 서로 교차하는 점을 추가하거나, 아무 점이나 추가하는 것을 뜻한다. '아무 점'이나 추가한다는 것은 어떤 규칙도 주지 않고, 이미 작도한 도형의 직선이나 곡선 위의 어떤 점을 선택하여 보탤 수 있다는 것을 말하는 것으로 목표로하는 점들의 집합을 찾는 것에 영향을 끼치지 않아야 한다. 예를 들어 '큐빅을 두배로 하는 문제'에서 작도 중 '주어진 점으로 부터 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 인 아무 점이나 잡자' 라고 할 수 없다는 뜻이다.

이와 같은 기능에서 작도 문제의 범위를 결정하는 것이라면,

• '주어진 점들의 집합'
• '단계마다 새로운 점을 추가할 수 있도록 사용하는 도구'

가 핵심이라고 할 수 있다. 주어진 점들의 집합을 유한한 것으로 제한 하였으므로 우리는 '새로운 점을 추가하는 도구'에 대해서만 보면 충분하다. 관심을 가지는 도구는 '순수한 자와 컴퍼스'다. 여기서 '순수한'의 뜻은 주어진 점에서 직선을 그을 수 있을 뿐이라는 것을 말한다. 각의 삼등분에서 볼 수 있었던(그리고 자와 컴퍼스 작도의 축소와 확장에서 더 설명하게 될) 자에 어떤 점을 표시할 수 있는 경우와 같은 추가 기능을 허락하지 않는다.

종합해보면, 새로운 점이란

• 이미 앞 단계에서 작도한 점들로 정의할 수 있는 직선들끼리 교차하는 점
• 이미 앞 단계에서 작도한 점들로 정의할 수 있는 직선과 원의 교차하는 점
• 이미 앞 단계에서 작도한 점들로 정의할 수 있는 원과 원이 교차하는 점
• 이미 앞 단계에서 작도한 점들로 정의할 수 있는 직선과 원 위의 '아무 점이나'

을 말한다.

이제 '작도 가능함'이라는 기하학의 용어들을 대수의 언어로 옮길 준비가 되었다.

작도가능을 대수적 언어로 옮기기

먼저 좌표를 작도하자. 주어진 두 점이 있다면(없으면 자와 컴퍼스를 써서 두 점을 얻으면 된다.) 직선으로 잇고 한 점을 (0,0)으로 다른 점을 (1,0)으로 할 수 있다. 작도 가능의 기초에서 볼 수 있듯, (0,0)에서 수직인 직선을 작도하여 컴퍼스를 써서 교점을 (0,1)과 (0,-1), (-1,0)으로 한다. 두 점을 수의 개념으로 바꿀 수 있고 두 수의 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈을 연산하는 것과 대응하는 점들을 추가로 얻을 수 있으므로 유리수 만큼 떨어진 모든 점은 좌표 위에 '작도 가능하다'. 다시 말해, 우리에게 주어진 점으로부터 유리수의 두 축을 가진 좌표를 표준 작도로 얻을 수 있다. (물론 유리수에 대응하는 축만 작도할 수 있는 것이 아니다. '작도 가능의 기초'에서 보았듯이 제곱근도 할 수 있다.) 연속한 직선으로 좌표축을 이해하고, 한 축을 실수부 x를 나타내고 다른 축을 허수부 y를 나타내는 것으로 해석한다면 좌표에 표시된 모든 점 (x,y)은 복소수 $z:=x+yi$ 와 일대일로 대응한다는 것을 알 수 있다.

유클리드 평면을 복소수에 대한 기하학적 모델인 좌표 평면으로 가져온 것이다. 이제 우리에게 주어진 점들로 부터 한단계 한단계 '작도해가면서' 얻어가는 점들은 '수'로 나타낼 수 있다. 작도의 정의에 따라, 여기에는 직선이나 원을 작도하거나, 그 도형들의 교차점을 찾거나, 아니면 이미 작도한 선분과 호에서 아무 점이나 선택하는 경우들이 있다.

주어진 점들로부터 작도하여 n 단계를 거쳐 얻은 점들의 집합을 $A_{n}$ 이라고 한다면 다음을 정의할 수 있다.

정의  : 허수 $i$ 와 $A_{n}$로 나타내는 점에 대응하는 복소수들로 부터 4칙 연산을 하여 얻은 모든 점들과 그 점들의 모든 '켤레' 복소수를 포함하는 가장 작은 집합을 $K_{n}$ 라고 하자.

이 집합 $K_{n}$은 복소수 집합의 부분 집합일 것이다. 더 정확하게 나타내면 복소수 필드의 하부 필드(subfield)일 것이다.

예를 들어, (0,0)과 (2,0)의 두 점에서 단계를 거쳐 이등변 삼각형을 결정하는, 좌표 (1,1)에 해당하는 점을 작도했다고 하자. 이는 원점과 (2,0)을 복소수 $z_{1}$ 로 나타내어 2 인 두 점으로부터, 다시 말해, 0 과 2 두 복소수로부터 $z_{2}$ 라 이름붙일 $1+i$을 작도하였다는 것을 뜻한다. 따라서 앞으로 '어떤 복소수 z를 작도 하였다' 또는 '$K_{n}$ 에 속한 점'이라고 말한다면 그것이 무엇을 뜻하는지 이해할 수 있을 것이다.

어떤 기하학적인 문제가 '작도 가능하다'라고 한 것은, 주어진 점들의 집합 $A_{0}$ 으로부터 새로운 점을 추가하면서 $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots ,A_{n}$을 작도하고 $A_{n}$에서 문제의 조건을 만족하는 점을 찾았다는 것을 뜻했다. 따라서 어떤 점 z가 작도가능하다는 것은

$\exists n\ (z\in K_{n})$

을 말한다. 다음의 기초 정리는 기하학적 점과 작도와 복소수 필드에서의 수와 연산의 관계를 분명하게 하고 이를 통해 '작도 가능' 문제를 대수적으로 풀어낼 기초적인 역할을 한다.

기초 정리

1. $K_{n}$에 속한 모든 점은 자와 컴퍼스로 작도 가능하다.
2. 자와 컴퍼스로 교차하는 점을 새로 얻어 $A_{n}$ 에서 $A_{n+1}$로 확장한다면 $K_{n+1}=K_{n}$ 이거나 또는 $K_{n+1}=K_{n}({\sqrt {z}})$다.
3. 주어진 선분과 호에서 아무거나 한 점을 선택해서 $A_{n}$ 에서 $A_{n+1}$로 확장할 때, $K_{n+1}=K_{n}({\sqrt {z}})$이 도록 선택할 수 있다.

앞의 기초 정리 (2), (3)에서 $z$는 $K_{n}$에 속하고 완전제곱수가 아니다.

이 기초정리를 바탕으로 앞의 작도 가능을 더 구체적으로 정의해보자.

정의: 주어진 subfield $K_{0}$로 부터 이어지는 $K_{0},K_{1},K_{2},K_{3},\cdots ,K_{n}$ 이 있고, $K_{n}$에 해가 존재하면 작도 가능한(constructible) 수라 한다 : 이 때 $K_{i+1}=K_{i}({\sqrt {z}})$이고 $z$는 $K_{i}$ 에 속하고 완전제곱꼴이 아니다.

또는 i = 0, 1,2,3 ,... 일 때, 주어진 $K_{0}$에 대하여

$\exists \ n\ (z\in K_{n}\quad \land \quad K_{i+1}=K_{i}({\sqrt {z}})\ )$

이면 이 z를 우리는 작도 가능한 수 라고 부르자.

이제 찾고자 하는 점을 미지수로, 새로운 점을 찾아가는 과정을 미지수를 찾는 방정식 시스템으로 이해한다면,

우리가 원하는 점을 작도 가능한가 그렇지 않은가

하는 문제는

(복소수 필드의 하부 필드에서 정의되는) 방정식 시스템의 근이 있는가

의 문제로 바꿔 생각할 수 있다 : 근이 없으면 작도 가능하지 않다.

작도 가능에 응용할 대수 세계의 법칙들

'방정식의 근이 존재하느냐 그렇지 않은가' 의 문제는 순수하게 대수학적인 문제다. 작도 가능 문제와 연관된 대수학의 성과들을 보면 고전적 3대 작도 가능 문제를 포함하여 수천년동안 관심을 끌어왔던 기하학에서 중요한 작도 문제들이 어렵지 않게 풀린다.

정리1  : 어떤 필드 $K_{0}$ 에서 정의되는 쪼개지지 않는 다항 $P(z)$ 의 한 근이 작도가능한 수의 필드 $K_{n}$ 에 있다면, 나머지 근들도 $K_{n}$ 에 있다.

정리2(Gauss) : 어떤 필드 $K_{0}$ 에서 정의되는 쪼개지지 않는 다항 $P(z)$ 의 근이 작도가능한 수의 필드 $K_{n}$ 에 있다면, 다항 $P(z)$ 의 차수는 $2^{m}$ 이다 : 여기서 m 은 1, 2, 3, .... 인 자연수.

그래서 어떤 필드 $K_{0}$ 에서 정의되는 쪼개지지 않는 다항 $P(z)$ 의 차수가 $2^{m}$ 로 나타낼 수 없으면 그 다항의 근은 작도가능한 수의 필드 $K_{n}$ 에 없다. 다시 말해 작도가능하지 않다.

그것의 특수한 경우로 3차식의 경우를 보자. 3차 다항 $P(z)$는 대수방정식으로 나타내면

$z^{3}+az^{2}+bz+c$

이고 이때, a , b, c 는 유리수다.

정리3 (3차 다항인 특수한 경우)  : 3차 다항 $P(z)$이 쪼개지지 않는다면, 어떤 근도 작도가능한 수의 필드 $K_{n}$ 에 없다.

고전적 작도 3대 문제의 작도 불가능성

Doubling the Cube

주어진 어떤 큐빅의 부피를 두배로 하는 큐빅을 작도하는 문제를 대수의 언어로 바꿀 수 있다. 문제를 단순하게 하기 위해 주어진 큐빅의 한 변의 길이가 1 이라고 하면,

$x^{3}=2$

인 방정식의 근인 수가 작도 가능한 subfiled에 들어 있을까, 그렇지 않을까의 문제로 바꿀 수 있다. 그런데

$x^{3}-2$

인 다항은 쪼갤 수 없다. 따라서 정리 3에 따라 작도가능한 subfiled에 들어 있지 않다. 작도 불가능하다. 이를 증명하는 핵심은 역시 위의 삼차 방정식이 쪼갤 수 없다는 사실을 보이는 것이다. 증명의 중요 지점들을 징검다리 삼아 그 사실을 확인하자. 이를 위해서는 다음의 사실이 증명의 핵심적 역할을 한다. (스스로 증명해보라.)

만약 삼차 다항

$x^{3}+ax^{2}+bx+c$

가 subfield $Q(i)$에서 쪼갤 수 있다면 한근은 반드시 실수, 그것도, 유리수다.

그런데 위 삼차 다항에 대해 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 는 실수인데 유리수 아니다. 따라서 위의 삼차 다항은 subfield $Q(i)$에서 쪼갤 수 없다. 따라서 작도 불가능한 필드에 근이 없다.

Trisection

각의 삼등분 문제는 어떤 각에 대해서는 삼등분 할 수도 있고, 어떤 각에 대해서는 불가능하다. 따라서 일반적으로 주어진 모든 각에 대해 삼등분 할 수 있다고는 할 수 없다. 주어진 각 $3x$의 삼등분각 $x$ 을 작도할 수 있다면, 우리의 좌표축의 모델로 옮겨 생각하면,

$\cos x+i\sin x$

를 작도할 수 있을 것이다. 이는

$\cos x$

를 작도할 수 있다는 것을 말한다. 그런데

$\cos 3x=\cos(x+2x)=\cos x\cos 2x-\sin 2x\sin x$

$=\cos x(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)-(\sin x\cos x+\cos x\sin x)\sin x$

$=\cos x(2\cos ^{2}x-1)-2\sin ^{2}x\cos x$

$=\cos x(2\cos ^{2}x-1)-2(1-\cos ^{2}x)\cos x$

$=4\cos ^{3}x-3\cos x$

이므로

$\cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x$

이므로 주어진 $\cos 3x$ 에 대해 우리가 찾고자 하는 $\cos x$ 를 미지수로 X 하면, 주어진 각 $x$각의 삼등분이 작도가능한가 하는 문제는,

$4X^{3}-3X-\cos 3x=0$

이라는 삼차 다항식의 근을 찾는 대수적 문제로 바꿀 수 있다. 따라서 특수한 경우, 예를 들어 주어진 각 $3x$ 이 ${\frac {\pi }{2}}$ 와 같은 경우라면, 다시 말해 직각을 삼등분하는 문제라면, 위의 다항식은

$4X^{3}-3X=X(4X^{2}-3)=0$

로 유리수 필드에서 쪼갤 수 있으므로, 작도 가능하다. 그런데 만약 주어진 각 $3x$ 이 직각이 아니라, 예를들어, ${\frac {\pi }{3}}$ 이라면, 위의 문제는

$4X^{3}-3X-{\frac {1}{2}}=0$

또는

$8X^{3}-6X-1=0$

의 근이 $Q(i,\ \cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}})$ 필드에서 작도 가능한가의 문제로 바뀐다. 그런데 이 다항은 위의 필드에서 작도가능하지 않다. (왜 그런가?) 따라서 '삼등분할 수 없는 반례'가 존재한다. 일반적으로 작도가능하다고 말할 수 없다.

Squaring the Circle

주어진 원과 같은 면적의 정사각형을 작도할 수 있다하자. 문제를 단순하게 하기 위해 주어진 원의 반지름이 1 이라 할 때,

$\pi =x^{2}$

인 x 를 작도할 수 있다는 뜻인데, 이는

$x={\sqrt {\pi }}$

인 x를 작도할 수 있다는 것을 뜻한다. 만약 $\pi$ 가 작도 가능하다면 x가 작도 가능하다는 것은 명확하다. 그런데 작도 가능한 모든 수는 어떤 n에 대해 $K_{n}({\sqrt {2}})$에 속한다. 이는 작도가능한 모든 수는 '대수적 수'의 부분 집합이라는 것을 뜻한다. 그런데 우리는 대수적 수와 초월수 에서 $\pi$가 초월수라는 것이 1882년 증명되었다는 사실을 알았다. 따라서 $\pi$ 는 어떤 n에 대해서도 $K_{n}({\sqrt {2}})$에 속할 수 없고 따라서 ${\sqrt {\pi }}$ 도 작도 불가능하다.

작도 불가능한 다른 문제들

정다각형의 작도 문제

정 7각형의 작도 불가능성 문제 (WIM ch3. 3절의 4)

주어진 삼각형의 각의 이등분선으로 삼각형 작도하기

어떤 삼각형은 세 꼭지점, 세 변, 세 높이, 세 중점, 세 각의 이등분선으로 정의된다. 그럴 때

• 세 높이가 주어질 때 삼각형 작도.
• 세 중점이 주어질 때 삼각형 작도.

는 작도 가능하다. 그런데

• 세 이등분선이 주어졌을 때 삼각형 작도.

보다 구체적으로

각의 이등분선들이 주어졌을 때 이등변삼각형을 작도하라.

문제는 작도 불가능한 것으로 알려졌다.

보완할 것들

• 정다각형의 작도 가능과 작도 불가능에 대한 정리와 증명
• 정 7각형 작도 불가능성 증명 보이기
• 각의 이등분선으로 삼각형 작도 불가능성 증명

Note

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