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2007년 4월 11일 (수) 10:51 기준 최신판

자연수 세계 - 서론과 이야기거리

고대의 수학은 주로 기하와 산술이었다. 기하학은 점, 선, 면과 그것들이 만들어내는 도형들을 다루는 분야다. 산술은 자연수의 세계를 일구었다. 우리는 '이것들을' 직관적으로 받아들인다. 이렇게 말할 수 있다.

점? 그거 ? 그거 꼭 찍으면 되는 거 그거 아냐? ... ??? 점? 그거 그냥 점이지...

자연수? 그거 ? 1, 2, 3 이렇게 세어가는 수를 말하지 뭐겠어 ? 1이 뭐냐고? 1이 뭐긴 뭐야 하나지. 하나? ...???

사실 따지고 보면 수학에서만 이런 일이 벌어지는 건 아니다. 하지만, 수학은 인류의 가장 오래된 지적 자산으로서 가장 엄격하고 가장 창조적인 학문이다. 고도로 창조적이면서도 절대로 '그냥 대충' 넘어갈 수 없는 분야다. 고대의 사람들도 지혜를 갖기 위한 절대적으로 중요한 수단으로 도형의 세계와 자연수의 세계를 공부하고 탐구해들어갔다. 물론 건축이나 농사, '하늘의 뜻'을 이해하는 것과 같이 실용적인 목적을 위해서도 가장 중요한 학문이었다. 수학의 세계를 탐구해들어가는 것은 바로 우리를 둘러싼 세계의 진실을 탐구하여 응용한다는 것을 뜻했다. 어떻게 수학의 세계로 들어갈까? 어디서 부터 시작할까?

수학의 세계로 들어가는 문은 많다. 우리는 자연수라는 열쇠를 쥐어들고 자연수 세계로 들어갈 것이다. 자연수가 정확히 무엇인지 말하는 것은 나중으로 미루자. 지금까지 많은 사람들이 받아들였듯이 우리도 자연수를 그렇게 받아들이자. (도대체 어떻게?) 그리고 그래왔듯이 덧셈과 곱셈도 받아들이자. 바로 이것들이 우리가 손에 쥐고 있는 열쇠다. 수학의 세계를 돌고 돌다 보면 이 열쇠를 버리고 이 열쇠 세계 자체를 들여다 볼 때가 기어이 오긴 올 것이다. 자연수의 세계, 이것이 우리 수학공부의 출발점이다.

자연수 세계에 들어서 첫탐험에서는 아래의 것들을 공부하게 된다.

그래도 자연수란 무언가? 이야기해본다. 갑자기 자연수가 우리 앞에 있게 될 것이다. 이미 오랫동안 익숙하기 때문에 놀랄리 없지만, 사실 이 지점은 경이로운 순간이다. 자연수에 생명의 숨을 불어넣는 관계와 연산에 대해 보고 그것의 가장 기초적인 성질이 무엇인지 알아본다.

자연수 세계로의 첫 발

자연수의 분류 : 또는 자연수의 부분집합

자연수가 무언지 받아들였다 해도, 자연수를 어떻게 나타내기로 할 것인가? 이것은 우리의 몫이다. 이것은 하늘에서 뚝 떨어진 무엇이 아니다. 지금은 어느정도 통일이 되었지만, 민족마다 시대마다 그 쓰는 법이 달랐다. 지금 우리가 나타내기로 한 것도 영원하리라는 보장이 없다. 지금 이 시대에 주로 쓰고 있는 자연수의 표현법, 그리고 진법의 구조가 무엇인지 본다. 이는 우리가 딪고선 발걸음에 불을 비춰워 살펴 보는 것이다. 이와 관련된 주제는 문화인류학, 역사학이나 심리학, 철학 같은 학문에서 다루는 것과 비슷한 질문을 던질 수도 있다. 그리고 현대 컴퓨터의 이해하고 응용하는데도 중요한 주제가 된다. 물론 우리는 최대한 절제하면서 수학의 길을 따라 갈 것이다.

자연수의 표현 : 더하기 -자리수 법을 중심으로.

자연수의 세는 법 : 2진법, 10진법, 12진법... q 진법.

자연수 세계에서 보통 받아들이는 법칙이 있다. 누구나 '그럴만 하다' 라고 할만한 법칙이다. 이 법칙을 거부해도 좋다. 그러나 그 댓가를 톡톡히 치러야 한다. 그리스 신화의 아틀라스처럼 이 법칙은 자연수 세계를 떠 받치고 있다고 볼 수도 있다. 그 법칙은 바로 수학적 귀납의 원칙이다.

수학적 귀납의 원칙의 뜻과 이해

수학적 귀납의 원칙을 적용하는 문제들

어렸을 때부터 억지로라도 배워 왔고 그래서 익숙해졌고 그래서 별 것 아닌 것으로 받아들이는 4칙 연산. 이제는 계산기까지 나와서 더하다. 그렇지만, 우리 앞에 자연수가 있다고 해도 연산이 없으면 이것들은 사실 박제와 다를게 없다. 연산이 있어서 자연수들끼리 작용(operation)이 일어난다. 그 중 나눗셈은 흔히 생각하듯 그렇게 호락호락한 연산이 아니다. 그 반대다. 나눗셈이라는 연산은 계산하기 무척 복잡한 연산이다. 이 녀석 때문에 온갖 골치아픈 문제들이 생겨난다. 그렇지만 힘든 만큼 그 세계를 잘 이해하면서 오는 즐거움도 크다.

나눗셈과 나뉨의 관계

이 즈음에서 소수가 등장하지 않을 수 없다. 소수는 자연수 세계의 곱셈-나눗셈의 관점에서 '원자'와 같은 구실을 한다. 왜냐하면 1이 아닌 모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현되기 때문이다. 뒤집어 말하면 소수는 1이 아닌 모든 자연수를 나눈다. 그리고 그 방법은 유일하다 ! 어떤 자연수를 곱셈으로 쪼개 보면 순서를 바뀌어도 좋지만, 결국 등장하는 소수들은 같다. 놀랍게도 그렇다. 만약 두개 이상이었다면 우리가 초등학교 때부터 흔하게 하는 소인수 분해라는 것이 별로 의미가 없어진다. 이 법칙이 바로 산술의 기본정리다. 얼마나 중요했으면 산술에서 가장 기본이 되는 정리(fundamental theorem) 라고 이름 붙였겠는가.

소수

소수는 끝없이 많다.

산술의 기본정리

어떻게 소수를 찾아낼까?'

고대 그리스의 전통에서 수학의 중심이 옮겨다니다가 마침내 유럽에 이르렀던 15-6세기. 자연수 세계를 탐구하던 여정은 새로운 이정표를 세우게 된다. 이 즈음 유럽에는 현재 수학사에 으뜸으로 꼽히는 사람들이 줄줄이 등장하게 된다. 물론 이것은 그 이전의 문명들이 뿌린 씨앗의 성과였다. 이 중 빼놓을 수 없는 인물이 있으니 바로 페르마다. 페르마는 수학의 세계에 새로운 길을 내는 중대한 첫발을 대디뎠다. 해석학, 통계학, 기하학, 그리고 산술(수론) ... 보통 페르마 대정리라고 불리는 것보다 오히려 어떤 면에서는 더 중대한 수학사적 의미를 갖는 수론 분야의 정리가 있다. 그것이 바로 일명 페르마 소정리다. 새로운 길은 언제나 진리로 가는 가시밭길이기도 하다. 페르마 소정리도 어김없이 그런 문명사적 의미를 갖는다고 할 수 있다. 자연수의 세계에서 소수가 차지하는 비중은 각별한데, 페르마는 페르마 소정리를 통해 소수 집단의 성격을 파헤치는 계기를 마련한 것이다. 페르마 소정리는 또 하나의 기린아 오일러에 의해 계승되고 발전된다.

페르마 小정리: 페르마 소정리와 일반화한 정리

페르마 小정리 증명들 : 관련 증명 모음.

제곱꼴 나머지

가우스. 그 이름에 황제라는 칭호를 주기까지 하는 18세기말 19세기 초 독일의 위대한 수학자. 그 또한 수학의 전분야에 걸쳐 수많은 업적을 남겼는데 그 중 산술 분야에 남긴 위대한 업적 가운데 하나가 모듈 합동의 개념이다. 이 개념은 새로운(?) 산술 개념이라고 해석할 수도 있다. 자연수를 주어진 수의 나머지들로 분류해서 생각하는 이 개념은 자연수 세계를 탐구하는 강력한 도구가 된다.

모듈 합동

위의 길을 따라가는 동안 최대공약수라는 개념이 중요한 단초가 된다. 어떤 수들의 공통된 약수 중 가장 큰 수라는 뜻인 최대 공약수의 기본 성질을 알아보고 그 개념이 어떻게 응용되는지를 살펴볼 것이다. 아울러, 최대공약수를 찾아볼 수 있는 알고리듬인 유클리드 알고리듬에 대해서도 본다.

약수와 배수, 최대공약수

유클리드 알고리듬

기타

오일러 함수
피타고라스 세쌍수
4n+1 등차수열 an + b 꼴 소수들의 성질
증명 모음 : 소수의 분포, 어떻게 소수를 찾아낼까? 관련.
페르마-오일러 정리 : 제곱수 두개로 표현되는 소수는 항상 4n + 1 꼴의 소수다. 그 역도 참.
라그랑쥐 정리 : 모든 자연수는 기껏해야 제곱수 네개의 합으로 표현할 수 있다.
워링 문제 : 워링-힐버트 정리 : 모든 자연수는 n 제곱수들 k 개의 합으로 표현할 수 있다.
골드바흐 가설의 참거짓 문제 : 2 보다 큰 모든 짝수는 단 두 개의 소수로 표현할 수 있다.

Note