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...때문에, AD를 지름으로 하는 원 위의 어떤 점이라고 볼 수 있다.<ref> 선분 AD 위에 A와 D가 아닌 어떤 점을 B라 하고, 원 S를 작도 한 다음, 반지름을 AB로 하는 원을 작도하여 교차하는 점 중 하나를 선택하면 된다.</ref> ''') * 원 S를 밑으로하는 '''원기둥'''을 그린다. ...

* 내용 : 유리수(소수꼴 표현일 때 성질), 무리수, root 2 근사값 찾기 알고리듬, 좌표법(수직선, 수평면 - 직선 원 방정식), 함수 기본 ...

* 이 사실로부터 : 반지름의 제곱 : 원의 넓이 = 지름 : 원 둘레 = constant ( 이 신비한 상수가 바로 <math>\pi</math> ) ...

...ma</math> 을 작도할 수 있다. 점 A 를 중심으로하는 원 <math>\Sigma</math> 을 뒤집기의 대칭 축으로 삼아 원 <math>\sigma</math> 을 뒤집는다. 뒤집기 원의 중심을 지나기 때문에 뒤집힌 도형은 직선 l 이 될 것이고, 대응하는 점 : '''Q''' : 세 원이 어떤 한 점에서 만난다. 이 원들을 모두 접하는 원을 찾아라.<ref> 만나는 점을 서로 교차하는 경우와, 원 중 어떤 것이 접할 수도 있는 경우로 나눌 수 있을 것이다. 해법이 어떻게 달라질까? </ref> ...

...부에서 본 정리를 환기하면 충분하다. A, C 를 지나 B, C를 지나는 원이 최소한 두 점에서 교차하면, 이 네 점은 어떤 직선이나 원 위에 있게 된다. 그리고 앞의 두 원이 최소한 두 점에서 교차하기 위해서는 두 점 A 와 C 사이에 B 또는 D 가 하나만 있게 된다. 두번째 사실은 서로 떼어놓지 않은 관계에 있는 두 묶음일 때, 교차하지 않은 두 원, 하나는 A, C를 지나고 다른 하나는 B, D를 지나는 원을 작도하는 방법을 보이면 된다. 이 경우는 다시 A, C, B, D 가 한 ...

: 어떤 평면은 원으로 둘로 나뉜다. 뒤집기로 원 '안쪽'의 점들은 바깥쪽으로 대응하고 바깥쪽의 점들은 안으로 대응한다. 평면을 둘로 나누어 한쪽에서 다른 쪽으로 대응하였던 대응은 이미 .... 여기서는 '' '모든 원은 원으로 뒤집어진다.' '' 와 '' '어떤 원 <math>\Sigma</math> 에 직각인 원을 그 원 <math>\Sigma</math> 에 대해 뒤집으면 직각인 원으로 뒤집어 진다.'' 에 촛점을 맞출 것이다. ...

...진 두 원에 직각이다. (아직 끝나지 않았다. 우리에게 잠시 잊혀진 채 어딘가에 있을 X 가 있다.) 이어서, 우리가 지금까지 얻은 원 <math>\Sigma(C, CT_{1}</math>) 을 축으로 평면을 뒤집어 본다. 얻는 것은 없다. 직각인 두 원은 그래도 그 자 ...</math> )' = 직선 (<math>O_{1} O_{2}</math> ). 이제 바뀌는 것들을 보자. 먼저 축의 중심을 지나는 원 <math>\Sigma(C, CT_{1}</math>) 은 B 를 지나면서 직선 (<math>O_{1} O_{2}</math> ) 과 ...

== 뒤집기 원에 직각인 원 == 다시 대칭을 생각해보면, 축에 대칭해서 그대로 남는 것은 수직인 직선 밖에 없을까? 물론 그렇지 않다. 중심이 축을 지나는 원, 밑변의 수직 이등분선과 맞은 편 꼭지점이 축을 지나는 이등변 삼각형 들 뿐만 아니라 축에 대칭인 모든 도형은 직선 대칭하고 그 자리에 ...

* 뒤집기 (inversion): 주어진 원 <math> \Sigma(O,r)</math>에대해 주어진 점이 P 라면 새로운 점 P'은 다음의 관계를 가지면서 변환. ...해서 affine 변환이나 projection 변환들은 모두 작도 가능하다. 각과 길이을 유지하는 변환들은 간단하다. 뒤집기 처럼 '원'이 직선으로 '직선'이 원으로 변하는 성질을 갖는 변환이나, 일반적으로 아핀 변환처럼 '길이와 각까지 변환'하는 경우(따라서 어떤 삼각 ...

# 원 안에 꺽인 선분이 원의 넓이를 이등분한다. 이 선분은 어떤 선분이라도 지름을 지나는 선분보다 길이가 길다는 것을 보여라. ...

** Book 1 33, 42, 43: 구의 표면 넓이 = 큰 원 넷의 넓이<ref>아르키메데스는 위의 그림에서 구 전체가 그림의 원뿔의 네배가 된다는 관계로부터 구의 표면적이 큰 원의 네배가 되는 것 ...

...</ref> 컴퍼스의 한 발을 고정하고 어느 정도 벌려, 이 벌어진 정도를 바꾸지 않고 회전하면서 다른 발이 그리는 점들을 따라 가면 원(과 비슷한 한 것)을 현실적으로 볼 수 있다. 그때 고정된 점을 중심이라 하고 벌린 정도를 반지름이라 부른다. : 원(circle)' 이란 하나의 선으로 된 평면 도형인데, 이 도형의 안 쪽에 있는 어떤 점에서 직선들을 그어내리면 모두 같은 거리에 있는 ...

...안되는 것 - 기본 원운동에 작은 반지름과 지름 갖는 이심원 운동 추가, 화성 운동 설명. 더 정확히 하려면 더 작은 원과 주기 갖는 원 추가. 개별 행성 설명은 되었지만 행성과 행성 사이의 통일성 없었다. 원이라는 '기성품'으로 표현한다. ...

이때 고정점 O 가 어떤 원 <math>\Sigma</math> 의 중심이고 상수 k 가 그 원의 반지름의 제곱일 때가 여기서 보려고 하는 원에 대한 뒤집기'다.< : (정의) 위의 두 조건을 만족하고 O 가 어떤 원의 중심, k 가 그 원의 반지름의 제곱일 때 '''원 <math>\Sigma(O,r)</math> 을 축으로 한 뒤집기''' 라고 한다. ...

...ef_Prop|뒤집기의 정의와 성질]]'''에서 보았던 성질들은 훨씬 유연하고 일반적인 방식으로 다시 쓸 수 있다. 이제는 직선 따로 원 따로 볼 필요가 없다. 원들 사이의 관계를 보는 것으로 충분하기 때문에 원들의 관계에 집중한다. 먼저 가장 기초적인 성질은 이미 본 것 * 두 원(두 직선)을 뒤집어도 각이 변하지 않는다. 따라서 직각인 두 원은 뒤집힌 뒤에도 직각인 관계가 유지된다. ...

"나 원 참, 내가 거전 갯벌을 차를 타고 누빌 줄 꿈에나 생각했겠어. 기가 막혀." ...

* '''점의 뒤집기''' 원<math> \Sigma (O, r) </math> 과 점 A가 주어졌다. 그럴 때 점 A의 뒤집힌(inversion) 점을 작도할 수 * ''' 직선의 뒤집기''' : 원 <math> \Sigma (O, r) </math> 과 점 A, B 가 주어졌다. 그럴 때 직선 AB의 뒤집힌 원을 작도할 수 있다. ...

...같아야 했다고 한다. 길게는 BC 7 세기 이전으로까지 거슬러 올라가는 인류 역사상 가장 오래된 문제들 중 하나다. 고대 인도인들이 '원-정사각형' 문제에 맞딱드리지 않을 수 없었다는 것은 불을 보듯 뻔하다. 그리고 신전을 안짓지는 않았을것이므로 어떤 방법으로건 해법을 가 [[Image:Doubling_cube.JPG|thumb|250px|right|고대 인도의 원-정사각형 해법]] ...

* AD를 지름으로하는 원 S 을 그린다. * 원 S를 밑으로하는 '''원기둥'''을 그린다. ...

** 중심이 A고 반지름이 |AC|인 원 S 을 그려 반직선 AB과 만나는 점 B'를 얻는다. 따라서 |AB'| = |AC| ** 중심이 C고 반지름이 |AC|인 원 S'을 그려 S와 S'가 만나는 점 D를 얻는다. ...