Math All LIst

자연수 세계 1 : 서문

• 자연수와 그 연산, 자연수 세계
• 자연수의 기호표현
• q-진법의 덧셈과 곱셈 알고리듬
• 자연수의 분류 : 또는 자연수의 부분집합
• 모듈합동관계
• 제곱꼴 나머지

자연수 세계 2

• 유클리드 알고리듬
• 오일러 함수
• 수학적 귀납법
• 수학적 귀납의 적용 예 모음
• 피타고라스 세쌍수
• 친구수
• 완전수 : 완전수 관련 증명
• 라그랑쥐 정리 : 모든 자연수는 기껏해야 제곱수 네개의 합으로 표현할 수 있다..
• 라그랑쥐 정리의 일반화 (워링-힐버트 정리) : 모든 자연수는 n 제곱수들 k 개의 합으로 표현할 수 있다.

Prime Number 의 세계

• 소수의 정의
• 산술의 기본정리 : 증명 시도1 | 증명 시도2 | 증명 시도3
• 소수는 몇개인가?
• 소수의 무한성 증명 : 페르마의 소수 가설과 통하는 증명
• 소수의 무한성 증명1(오일러) , Infinity Prime Series : 수열의 증가 속도 개념에 기초한 증명
• 소수의 분포  : 관련 증명 : 3n+2 꼴, 4ㅜ+1 꼴 소수
• 나눗셈과 '나뉨' 관계
• 약수와 배수, 최대공약수
• 페르마 소정리 : 페르마 소정리 증명

자연수 세계를 넘어 : 정수에서 복소수까지

• 수의 확장 : 정수와 유리수 세계를 정의함
• 음수 : 음수 : 역사, 해석
• 무리수 : 서로 나눌 수 없는 수
• 무리수 - 순환없이 끝없이 소수점 이하 표현되는 수
• 무리수 - 데데킨트 '절단'
• 수의 확장 : 복소수 세계
• 대수적 수와 초월수
• 대수의 기본 정리

'집합(Set)' 이야기의 틀

• 집합은 정의할 수 있나?
• 집합의 관계와 연산
• 집합의 관계와 연산에 대한 덧붙임
• 무한집합의 세계 (I) : 무한개 별이 있는 우주, 무한개 방이 있는 숙소
• 집합의 세기(농도)와 Continumm Hypothesis
• 유한 집합, 무한집합이란 무엇인가? : 셀 수 있는 집합
• 무한 집합의 비교에 대해 알고 싶은 몇가지
• 순서있는 집합

수리 논리

• 수리 논리 세계로의 첫 발 : : 수리논리란 무엇?
• 수리논리의 발전 : : 명제와 명제들의 연산
• 수리논리의 대상 I
• 수리논리의 기초적 법칙 : Rules , Tautology, 증명
• 문장의 참과 거짓 : 문장의 참 거짓 표
• 직관주의 논리학  : 비고전 논리학 (직관주의를 중심으로.)
• 같은 참값을 갖는 문장  : 논리적으로 등가인 문장들. 명제 논리의 기본 성질들.
• 응용 사례
• Math_Logic_Today : 오늘날의 수리논리 영역
• 파라독스

작도 가능 (Contruction on Euclid Geometry)

• 작도 일반
• 작도 가능의 기초
• 기하학적 변환의 작도 가능
• 작도 가능의 축소와 확대
• Doubling the Cube의 고전적 해법
• '각의 삼등분'의 고전적 해법
• 원과 면적 같은 정사각형 작도의 고전-근대의 해법
• 작도 불가능성

MaxMin 문제

• MaxMin 서론
• Conic Section과 MaxMin
• 토리첼리 점 : 증명과 관련 성질
• 판야노-쉬바르쯔 삼각형 문제 : 삼각형 관련 최소값
• 같은 둘레 문제 : 쉬타이너 해법
• 쉬타이너 망 : n 개의 점을 잇는 가장 짧은 network 만들기.

피타고라스 정리

• '넓이' : '넓이'란 무엇인가, '넓이'를 비교함.
• 정사각형을 쪼개어 조각 맞추기로 증명
• 보태서 덜어내기로 증명
• 같은 조각으로 이루어짐
• 유클리드의 증명
• 다른 증명들
• 피타고라스 정리의 일반화
• 다른 공간에서의 피타고라스 정리
• 피타고라스 정리의 응용과 발전

변환,꼴바꿈

• 변환의 일반적 정의와 기초 성질 : 변환의 정의, 기초성질.
• 이동  : 위치만 바꿈.
• 어떻게 옮길까? : 평행이동, 회전, 대칭
• 닮음 : 길이를 바꾸되 정해놓은 정도로만 바꿈.
• Affine 변환 : 길이를 마음대로 바꿀 수 있지만, 평행성은 지켜지도록 바꿈.
• Projective 변환 (투영, 사영 변환) : 평행성 마저 바꿀 수 있되 직선성은 지키도록 바꿈.
• 원꼴 변환 : 일반적인 원꼴 변환, 뒤집기(반전)
• 변환과 허수
• 비유클리드 기하학의 모델
• 대수적 이해 - 매트릭스

뒤집기

원의 정의와 몇가지 성질

뒤집기의 정의와 기본 성질

직각인 원들의 관계와 뒤집기

Inversive Geometry

뒤집기의 응용

Inversor

포앙카레 모델

귀납과 일반화

서문과 1장, 2장 : 귀납적 방법, 일반화의 개념. 예 : 용감한 오일러, $\pi$ 를 무한수열의 합으로 나타내다.

3장 : 귀납과 일반화, 기하학에서의 예 : V - E + F =2

4장 : 귀납과 일반화, 수론에서의 예 : 골드바흐 가설 (두 소수의 합), 라그랑쥐 정리(네 제곱수의 합), 가우스 정리 (네 홀수 제곱의 합)

수학 편지

• Math Mail 00 : 'Math 편지'를 시작하며  : Math 편지에 대한 소개 .
• MathMail 01 : 자연수란?  : 수란 어디서 시작했을까?
• MathMail 02 : 자연수 쓰기법 : 자연수를 '써서 나타내기 시작하다'. 자릿수법.
• MathMail 03 : 자연수의 10진법 표현 : 자연수를 기호로 어떻게 나타내면 좋을까? 아무것도 없다는 '0' , 과연 필요한가?
• Math Mail 03 -1 : 보충 : 1 + 1 = 2 여야 하나? , 0 은 자연수인가?
• Math Mail 04 : 자연수의 덧셈 알기 : 덧셈을 어떻게 할까? 어떻게 잘할까?
• Math Mail 05 : 자연수의 곱셈 알기 : 곱셈을 어떻게 받아들일까? 곱셈을 어떻게 할까? 곱셈을 하러 유학을?
• Math Mail 06 : 0과 자연수에서 곱셈의 기본 성질  : 100* 0 은 왜 0 일까?
• Math Mail 07 : 0과 자연수에서 분배  : 덧셈과 곱셈이 함께 쓰일 때. '믿음'과 '증명'
• Math Mail 08 : 지수셈과의 첫만남  : 곱하기를 여러번 = '거듭제곱' 그러면 $2^{0}=?\ 0^{0}=?$
• Math Mail 09 : 뺄셈이 뭐지?  : 빼다? 나누다? 0 으로 나누면? '역연산(inverse operation)'과 첫 만남.
• Math Mail 10 : 자연수에서 0 을 너머 : 0- 4 =? 자연수에서 0 에 대칭인 수 - 음의 정수, 음수에는 악마가 깃들었다?
• Math Mail 11 : 정수의 세계 ; 셈하기 : 음양의 조화, 정수의 덧셈, 곱셈
• Math Mail 12 : fraction 도입 : 자연수를 나눔; 分數 ; 유리수로 가는 길목
• Math Mail 13 : fraction의 성질  : 분수는 특별하다.
• Math Mail 14 : Rational Number  : 분수에서 '유리수'로 . 왜 분모에는 0일 수 없나?
• Math Mail 15 : 요약/뒤돌아보기  : 지금까지 한 것 요약 정리, 어디서 와서 어디쯤 있고 어디로 갈까?
• Math Mail 16 : 지수가 음수인 경우 : 거듭제곱(지수셈)은 곱셈을 몇 번 하는 것일까? 2에 -1 제곱은 왜 1/2 일까?
• Math Mail 17: 식의 세계로  : 문자 계산 왜 하나?
• Math Mail 18 : term & formula : 문자 계산 어떻게 해야 잘할까?
• Math Mail 19 : Division : 나눗셈과의 '첫' 만남
• Math Mail 20 : 그 옛날의 나눗셈들 : 그 옛날, 나눗셈은 어떻게 어려웠나 ?

문자열 가지고 놀기

• 단어 반복이 없는 문자열

기타

• Euler Identity 오일러 식의 (Naive) 증명과 설명
• '파이'를 달리 나타냄
• 유클리드의 평행성 공리
• 3차 방정식과 허수의 등장
• 4n + 1꼴의 자연수들
• 산술의 기본정리 관련
• 2진법 체계
• 원의 성질
• 골드바흐 가설
• 황금비례
• 라그랑쥐
• 자연수의 신비 : 다각수, 완전수
• 수리 논리 요약
• 뉴튼의 이항정리 : 수학적 귀납법이 쓰인 중요한 예.
• 명제논리의 연산
• 리만 가설
• 페르마 마지막 정리
• 토폴로지의 세계로 들어가며
• Natural logarithm : 자연스러운 로그(Natural logarithm)는 왜 '자연스러운' 이라고 부를까?
• 존재하는 무 : 책 읽고 정리.

Note

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